Es sei der Zykel ${\displaystyle {}1\mapsto 2\mapsto 3\mapsto \ldots \mapsto n\mapsto 1}$ gegeben und sei ${\displaystyle {}M}$ die zugehörige ${\displaystyle {}n\times n}$-Permutationsmatrix über einem Körper ${\displaystyle {}K}$.

a) Es sei ${\displaystyle {}P\in K[X]}$ ein Polynom vom Grad ${\displaystyle {}<n}$. Erstelle eine Formel für ${\displaystyle {}(P(M))(e_{1})}$.

b) Bestimme das Minimalpolynom von ${\displaystyle {}M}$.

c) Man gebe ein Beispiel für einen Endomorphismus ${\displaystyle {}\varphi }$ auf einem reellen Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ mit untereinander verschiedenen Vektoren ${\displaystyle {}v_{1},v_{2},v_{3}\in V}$ derart, dass ${\displaystyle {}\varphi (v_{1})=v_{2}}$, ${\displaystyle {}\varphi (v_{2})=v_{3}}$ und ${\displaystyle {}\varphi (v_{3})=v_{1}}$

${\displaystyle {}\varphi }$

${\displaystyle {}X^{3}-1}$