a) Sei

${\displaystyle {}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n-1}X^{n-1}\,.}$

Wegen ${\displaystyle {}M^{i}(e_{1})=e_{i+1}}$ für ${\displaystyle {}i<n}$ ist dann

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(P(M))(e_{1})&={\left(a_{0}+a_{1}M+a_{2}M^{2}+\cdots +a_{n-1}M^{n-1}\right)}(e_{1})\\&=a_{0}e_{1}+a_{1}M(e_{1})+a_{2}M^{2}(e_{1})+\cdots +a_{n-1}M^{n-1}(e_{1})\\&=a_{0}e_{1}+a_{1}e_{2}+a_{2}e_{3}+\cdots +a_{n-1}e_{n}\\&=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}e_{i+1}.\end{aligned}}}$

b) Das Minimalpolynom ist ${\displaystyle {}X^{n}-1}$. Da der Zykel die Ordnung ${\displaystyle {}n}$ besitzt, ist

${\displaystyle {}M^{n}=E_{n}\,}$

und daher annulliert ${\displaystyle {}X^{n}-1}$ die Matrix. Für ein von ${\displaystyle {}0}$ verschiedenes Polynom ${\displaystyle {}P}$ vom Grad ${\displaystyle {}<n}$ ist nach Teil a) ${\displaystyle {}(P(M))(e_{1})\neq 0}$, also ${\displaystyle {}P(M)\neq 0}$ und somit ist ${\displaystyle {}X^{n}-1}$ das annullierende Polynom minimalen Grades.

c) Wir betrachten im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ eine Drehung ${\displaystyle {}\varphi }$ um ${\displaystyle {}120}$ Grad. Es sei ${\displaystyle {}v_{1}=e_{1}}$ und ${\displaystyle {}v_{2}=\varphi (e_{1})}$ und ${\displaystyle {}v_{3}=\varphi (v_{2})}$. Die dritte Potenz von ${\displaystyle {}\varphi }$ ist die Identität, daher ist insbesondere

${\displaystyle {}\varphi (v_{3})=e_{1}\,.}$

Da sich alles in der Dimension ${\displaystyle {}2}$ abspielt, besitzt das charakteristische Polynom den Grad ${\displaystyle {}2}$ und annulliert diesen Endomorphismus.