Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Zahlbereich und sei ${\displaystyle {}f\in R}$, ${\displaystyle {}f\neq 0}$. Zeige die beiden folgenden Äquivalenzen:

Das Element ${\displaystyle {}f}$ ist genau dann prim, wenn der zugehörige Hauptdivisor ${\displaystyle {}\operatorname {div} {\left(f\right)}}$ die Gestalt ${\displaystyle {}1{\mathfrak {p}}}$ mit einem Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}\neq 0}$ besitzt.

Das Element ${\displaystyle {}f}$ ist genau dann irreduzibel,

${\displaystyle {}\operatorname {div} {\left(f\right)}}$

${\displaystyle {}\neq 0}$