Es seien ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}S}$ Zahlbereiche. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}S}$ sind isomorph.
2. Es gibt ein ${\displaystyle {}f\in R}$ und ein ${\displaystyle {}g\in S}$, beide nicht ${\displaystyle {}0}$, derart, dass die Nenneraufnahmen ${\displaystyle {}R_{f}}$ und ${\displaystyle {}S_{g}}$ zueinander isomorph sind.
3. Es gibt ein Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ von ${\displaystyle {}R}$ und ein Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}}$ von ${\displaystyle {}S}$ derart, dass die Lokalisierungen ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {p}}}$ und ${\displaystyle {}S_{\mathfrak {q}}}$ zueinander isomorph sind.
4. Die Quotientenkörper ${\displaystyle {}Q(R)}$ und ${\displaystyle {}Q(S)}$ sind isomorph.