Aufgrund des Basisergänzungssatzes gibt es eine Basis

${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$

von ${\displaystyle {}V}$ mit

${\displaystyle {}V_{i}=\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle \,}$

für alle ${\displaystyle {}i}$. Entsprechend gibt es eine Basis

${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$

von ${\displaystyle {}W}$ mit

${\displaystyle {}W_{i}=\langle w_{1},\ldots ,w_{i}\rangle \,}$

für alle ${\displaystyle {}i}$. Aufgrund des Basisfestlegungssatzes gibt es eine lineare Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

mit ${\displaystyle {}\varphi (v_{i})=w_{i}}$. Diese ist surjektiv, da das Bild ein Erzeugendensystem enthält, und somit bijektiv, da die Räume gleichdimensional sind. Nach Konstruktion gilt

${\displaystyle {}\varphi (V_{i})\subseteq W_{i}\,,}$