Zur natürlichen Operation der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle {}S_{n}}$ auf ${\displaystyle {}K^{n}}$ bzw. auf ${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ ist der Fixring

${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{S_{n}}=K[E_{1},\ldots ,E_{n}]\,,}$

wobei die ${\displaystyle {}E_{i}}$ die elementarsymmetrischen Polynome sind. Dies ist die Existenzaussage von Fakt; die dortige Eindeutigkeitsaussage bedeutet, dass der Fixring isomorph zu einem Polynomring in ${\displaystyle {}n}$ Variablen ist.