Sigmaendliche Räume/Nichtnegative Funktion/Fubini/Fakt

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ zwei ${}\sigma$ -endliche Maßräume und sei

f\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}

eine nichtnegative messbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

Für jedes ${}x\in M$ sind die Funktionen
$N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,y\longmapsto f(x,y),$
und für jedes ${}y\in N$ sind die Funktionen
$M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,x\longmapsto f(x,y),$

messbar.

Die Funktion
$N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,y\longmapsto \int _{M}f(x,y)\,d\mu (x),$
und die Funktion
$M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,x\longmapsto \int _{N}f(x,y)\,d\nu (y),$

sind messbar.

Es gilt
${}\int _{M\times N}f\,d(\mu \otimes \nu )=\int _{M}{\left(\int _{N}f(x,y)\,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x)=\int _{N}{\left(\int _{M}f(x,y)\,d\mu (x)\right)}\,d\nu (y)\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen

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