(1) folgt direkt aus der Messbarkeit der Inklusionen

${\displaystyle M\longrightarrow M\times N,\,x\longmapsto (x,y),}$

für jedes ${\displaystyle {}y\in N}$.
(2) folgt aus Fakt angewendet auf

${\displaystyle {}S(f)=M\times (N\times {\overline {\mathbb {R} }})\,,}$

da ${\displaystyle {}(S(f))(x)}$ der Subgraph von ${\displaystyle {}f(x,-)}$ und ${\displaystyle {}\int _{N}f(x,-)d\nu =\nu \otimes \lambda ^{1}(S(f)(x))}$ ist.
(3). Nach Fakt, angewendet auf das Produkt ${\displaystyle {}M\times (N\times {\overline {\mathbb {R} }})}$, ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{M\times N}f\,d(\mu \otimes \nu )&={\left(\mu \otimes \nu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f))\\&=\int _{M}{\left(\nu \otimes \lambda ^{1}\right)}{\left((S(f))(x)\right)}\,d\mu \\&=\int _{M}\left(\int _{N}f(x,y)\,d\nu \right)\,d\mu .\end{aligned}}}$

Da man die Rollen von ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$ vertauschen kann, ergibt sich auch die andere Darstellung.