Es sei ${\displaystyle {}I=[a,b]\subseteq \mathbb {R} }$ ein kompaktes Intervall und es seien ${\displaystyle {}f,g\colon I\rightarrow \mathbb {R} }$ zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Beweise die folgenden Aussagen.

1. Ist ${\displaystyle {}m\leq f(x)\leq M}$ für alle ${\displaystyle {}x\in I}$, so ist ${\displaystyle {}m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(t)\,dt\leq M(b-a)}$.
2. Ist ${\displaystyle {}f(x)\leq g(x)}$ für alle ${\displaystyle {}x\in I}$, so ist ${\displaystyle {}\int _{a}^{b}f(t)\,dt\leq \int _{a}^{b}g(t)\,dt}$.
3. Es ist ${\displaystyle {}\int _{a}^{b}f(t)+g(t)\,dt=\int _{a}^{b}f(t)\,dt+\int _{a}^{b}g(t)\,dt}$.
4. Für ${\displaystyle {}c\in \mathbb {R} }$ ist ${\displaystyle {}\int _{a}^{b}(cf)(t)\,dt=c\int _{a}^{b}f(t)\,dt}$.