Riemann integrierbar/Elementare Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und es seien ${}f,g\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Dann gelten folgende Aussagen.

Ist ${}m\leq f(x)\leq M$ für alle ${}x\in I$ , so ist ${}m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(t)\,dt\leq M(b-a)$ .

Ist ${}f(x)\leq g(x)$ für alle ${}x\in I$ , so ist ${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt\leq \int _{a}^{b}g(t)\,dt$ .

Die Summe ${}f+g$ ist Riemann-integrierbar und es ist ${}\int _{a}^{b}(f+g)(t)\,dt=\int _{a}^{b}f(t)\,dt+\int _{a}^{b}g(t)\,dt$ .

Für ${}c\in \mathbb {R}$ ist ${}\int _{a}^{b}(cf)(t)\,dt=c\int _{a}^{b}f(t)\,dt$ .

Die Funktionen ${}{\max {\left(f,g\right)}}$ und ${}{\min {\left(f,g\right)}}$ sind Riemann-integrierbar.

Die Funktion ${}\vert {f}\vert$ ist Riemann-integrierbar.

Das Produkt ${}fg$ ist Riemann-integrierbar.

Beweis 1, 2, Alternativen Beweis erstellen

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