{{ Mathematischer Text/Beweis |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Für (1) bis (4) siehe Aufgabe. {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (5). Wir betrachten die Aussage für das Maximum. Wir müssen zeigen, dass es zu jedem ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ eine obere und eine untere Treppenfunktion gibt derart, dass die Differenz der beiden Treppenintegrale ${\displaystyle {}\leq \epsilon }$ ist. Sei also ein ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ vorgegeben. Aufgrund der Riemann-Integrierbarkeit gibt es Treppenfunktionen

${\displaystyle s_{1}{\text{ und }}t_{1}{\text{ mit }}s_{1}\leq f\leq t_{1}{\text{ und mit }}\int _{a}^{b}(t_{1}-s_{1})(x)\,dx\leq \epsilon /2}$

und

${\displaystyle s_{2}{\text{ und }}t_{2}{\text{ mit }}s_{2}\leq g\leq t_{2}{\text{ und mit }}\int _{a}^{b}(t_{2}-s_{2})(x)\,dx\leq \epsilon /2.}$

Wir können annehmen, dass diesen Treppenfunktionen die gleiche Unterteilung zugrunde liegt. Es sei ${\displaystyle {}\ell _{k}}$, ${\displaystyle {}k=1,\ldots ,n}$ die Länge des ${\displaystyle {}k}$-ten Teilintervalls ${\displaystyle {}I_{k}}$ und es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | \delta_k | |

= (t_1-s_1) {{|}} _{I_k} + (t_2-s_2) {{|}}_{I_k}

|| || || || |SZ=. }} Dann gilt {{ Ma:Vergleichskette/align |\sum_{k = 1}^n \ell_k \delta_k ||\sum_{k = 1}^n \ell_k {{makl| (t_1-s_1) {{|}} _{I_k} + (t_2-s_2) {{|}}_{I_k} |}} ||\sum_{k = 1}^n \ell_k (t_1-s_1) {{|}} _{I_k} + \sum_{k = 1}^n \ell_k (t_2-s_2) {{|}}_{I_k} |\leq|\frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} ||\epsilon || |SZ=. }} Wir setzen

${\displaystyle s:={\max {\left(s_{1},s_{2}\right)}}\,\,{\text{ und }}\,\,t:={\max {\left(t_{1},t_{2}\right)}}.}$

Dies ist offenbar eine untere bzw. obere Treppenfunktionen für ${\displaystyle {}{\max {\left(f,g\right)}}}$. Wir betrachten ein Teilintervall ${\displaystyle {}I_{k}}$ der gegebenen Unterteilung. Wenn dort

${\displaystyle s_{1}\leq s_{2}{\text{ und }}t_{1}\leq t_{2}}$

gilt, so ist dort

${\displaystyle {}t-s=t_{2}-s_{2}\leq \delta _{k}\,.}$

Wenn dort

${\displaystyle s_{1}\leq s_{2}{\text{ und }}t_{2}\leq t_{1}}$

gilt, so ist dort ebenfalls

${\displaystyle {}t-s=t_{1}-s_{2}\leq t_{1}-s_{1}\leq \delta _{k}\,.}$

 Dies gilt auch in den beiden anderen Fällen.

Damit ist die Differenz der Treppenintegrale ${\displaystyle {}\leq \sum _{k=1}^{n}\ell _{k}\delta _{k}\leq \epsilon }$. |Teilabschluss= }} (6) folgt direkt aus (5). Für (7) siehe Aufgabe. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Faktname= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}