Wir setzen ${\displaystyle {}x={\sqrt[{3}]{ab^{2}}}}$ und ${\displaystyle {}y={\sqrt[{3}]{a^{2}b}}}$. Nach Fakt ist der Ganzheitsring gleich ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [x,y]}$ und ${\displaystyle {}1,x,y}$ ist eine Ganzheitsbasis, ferner ist ${\displaystyle {}y=x^{2}/b}$. Wir berechnen zuerst die Diskriminante zu ${\displaystyle {}1,x,x^{2}}$. Dabei ist ${\displaystyle {}x^{3}=ab^{2}}$ und ${\displaystyle {}x^{4}=ab^{2}x}$. Die Spur von ${\displaystyle {}x}$ und von ${\displaystyle {}x^{2}}$ ist gleich ${\displaystyle {}0}$, daher ist

${\displaystyle {}\triangle (1,x,x^{2})=\det {\begin{pmatrix}3&0&0\\0&0&3ab^{2}\\0&3ab^{2}&0\end{pmatrix}}=-27a^{2}b^{4}\,.}$

Die Übergangsmatrix zwischen ${\displaystyle {}1,x,x^{2}}$ und ${\displaystyle {}1,x,y}$ hat die Determinante ${\displaystyle {}1/b}$, daher ist die Diskriminante des Zahlbereiches nach Fakt gleich ${\displaystyle {}-27a^{2}b^{2}}$.

Im zweiten Fall bleibt die bisherige Rechnung gültig, doch ist jetzt ${\displaystyle {}{\frac {1}{3}}(1+ax+by),x,y}$ eine Ganzheitsbasis. Die Übergangsmatrix zwischen den Basen ${\displaystyle {}1,x,y}$ und ${\displaystyle {}z,x,y}$ ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}&{\frac {a}{3}}&{\frac {b}{3}}\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

mit der Determinante ${\displaystyle {}{\frac {1}{3}}}$. Dies ergibt den Faktor ${\displaystyle {}{\frac {1}{9}}}$.