Reine kubische Erweiterung/Diskriminante/Fakt

Es seien ${}a$ und ${}b$ teilerfremde quadratfreie natürliche Zahlen, nicht beide ${}1$ , und sei ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-ab^{2})=L$ die zugehörige kubische Körpererweiterung mit dem Ganzheitsring ${}R$ . Dann gilt für die Diskriminante von ${}R$ folgende Beschreibung.

Bei ${}a\neq \pm b\mod 9$ ist die Diskriminante von ${}R$ gleich ${}-27a^{2}b^{2}$ .

Bei ${}a=\pm b\mod 9$ ist die Diskriminante von ${}R$ gleich ${}-3a^{2}b^{2}$ .

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen

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