Reelle Funktion/Extremum/Höhere Ableitungen/Fakt

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall,

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine ${}(n+1)$ -mal stetig differenzierbare Funktion, und ${}a\in I$ ein innerer Punkt des Intervalls. Es gelte

f'(a)=f^{\prime \prime }(a)=\ldots =f^{(n)}(a)=0{\text{ und }}f^{(n+1)}(a)\neq 0.

Dann gelten folgende Aussagen.

Wenn ${}n$ gerade ist, so besitzt ${}f$ in ${}a$ kein lokales Extremum.

Sei ${}n$ ungerade. Bei ${}f^{(n+1)}(a)>0$ besitzt ${}f$ in ${}a$ ein isoliertes Minimum.

Sei ${}n$ ungerade. Bei ${}f^{(n+1)}(a)<0$ besitzt ${}f$ in ${}a$ ein isoliertes Maximum.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen

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