Unter den Voraussetzungen wird die Taylor-Formel zu

${\displaystyle {}f(x)-f(a)={\frac {f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}\,}$

mit ${\displaystyle {}c}$ (abhängig von ${\displaystyle {}x}$) zwischen ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}x}$. Je nachdem, ob ${\displaystyle {}f^{(n+1)}(a)>0}$ oder ${\displaystyle {}f^{(n+1)}(a)<0}$ ist, gilt auch (wegen der vorausgesetzten Stetigkeit der ${\displaystyle {}(n+1)}$-ten Ableitung) ${\displaystyle {}f^{(n+1)}(x)>0}$ bzw. ${\displaystyle {}f^{(n+1)}(x)<0}$ für ${\displaystyle {}x\in [a-\epsilon ,a+\epsilon ]}$ für ein geeignetes ${\displaystyle {}\epsilon >0}$. Für diese ${\displaystyle {}x}$ ist auch ${\displaystyle {}c\in [a-\epsilon ,a+\epsilon ]}$, so dass das Vorzeichen von ${\displaystyle {}f^{(n+1)}(c)}$ vom Vorzeichen von ${\displaystyle {}f^{(n+1)}(a)}$ abhängt.
Bei ${\displaystyle {}n}$ gerade ist ${\displaystyle {}n+1}$ ungerade und daher wechselt ${\displaystyle {}(x-a)^{n+1}}$ das Vorzeichen bei ${\displaystyle {}x=a}$ (bei ${\displaystyle {}x<a}$ ist das Vorzeichen negativ und bei ${\displaystyle {}x>a}$ ist es positiv). Da das Vorzeichen von ${\displaystyle {}f^{(n+1)}(c)}$ sich nicht ändert, ändert sich das Vorzeichen von ${\displaystyle {}f(x)-f(a)}$. Das bedeutet, dass kein Extremum vorliegen kann.
Sei nun ${\displaystyle {}n}$ ungerade. Dann ist ${\displaystyle {}n+1}$ gerade, so dass ${\displaystyle {}(x-a)^{n+1}>0}$ für alle ${\displaystyle {}x\neq a}$ in der Umgebung ist. Das bedeutet in der Umgebung bei ${\displaystyle {}f^{(n+1)}(a)>0}$, dass ${\displaystyle {}f(x)>f(a)}$ ist und in ${\displaystyle {}a}$ ein isoliertes Minimum vorliegt, und bei ${\displaystyle {}f^{(n+1)}(a)<0}$, dass ${\displaystyle {}f(x)<f(a)}$ ist und in ${\displaystyle {}a}$ ein isoliertes Maximum vorliegt.