Es sei ${\displaystyle {}D\geq 2}$ quadratfrei und ${\displaystyle {}A_{D}\subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]=K}$ der zugehörige reell-quadratische Zahlbereich. Es sei ${\displaystyle {}{\sqrt {D}}}$ einerseits ein fixierte Quadratwurzel aus ${\displaystyle {}D}$ in ${\displaystyle {}A_{D}}$ und andererseits die positive reelle Quadratwurzel. Die Abbildung

${\displaystyle K\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(q_{1}+q_{2}{\sqrt {D}})\longmapsto {\begin{pmatrix}q_{1}+q_{2}{\sqrt {D}}\\q_{1}-q_{2}{\sqrt {D}}\end{pmatrix}},}$

ist dann die reelle Gesamteinbettung und liefert insbesondere eine explizite Realisierung von ${\displaystyle {}A_{D}}$ als Gitter im Sinne von Fakt. Das Gitter hängt wie die Ganzheitsbasis für ${\displaystyle {}A_{D}}$ vom Rest von ${\displaystyle {}D}$ modulo ${\displaystyle {}4}$ ab, siehe Fakt.

Die Ganzheitsbasis ${\displaystyle {}1,{\sqrt {D}}}$ bei ${\displaystyle {}D=2,3\mod 4}$ bzw. ${\displaystyle {}1,{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}}$ bei ${\displaystyle {}D=1\mod 4}$ (vergleiche Fakt) wird unter der reellen Gesamteinbettung auf die reelle Ganzheitsmatrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&{\sqrt {D}}\\1&-{\sqrt {D}}\end{pmatrix}}}$

bzw.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}\\1&{\frac {1-{\sqrt {D}}}{2}}\end{pmatrix}}}$

abgebildet.