Es sei ${\displaystyle {}D<0}$ quadratfrei und ${\displaystyle {}A_{D}}$ der zugehörige imaginär-quadratische Zahlbereich. Dann liefert eine fixierte Einbettung ${\displaystyle {}A_{D}\subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]\subseteq \mathbb {C} \cong \mathbb {R} ^{2}}$ direkt eine Realisierung als Gitter im Sinne von Fakt. Dem Element ${\displaystyle {}q_{1}+q_{2}{\sqrt {D}}=q_{1}+q_{2}{\sqrt {\vert {D}\vert }}{\mathrm {i} }}$ entspricht in der reellen Ebene das Element ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}q_{1}\\q_{2}{\sqrt {-D}})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}q_{1}\\q_{2}{\sqrt {\vert {D}\vert }})\end{pmatrix}}}$. Die Ganzheitsbasis ${\displaystyle {}1,{\sqrt {D}}}$ bei ${\displaystyle {}D=2,3\mod 4}$ bzw. ${\displaystyle {}1,{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}}$ bei ${\displaystyle {}D=1\mod 4}$ (vergleiche Fakt) wird unter der reellen Gesamteinbettung auf die reelle Ganzheitsmatrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&{\sqrt {\vert {D}\vert }}\end{pmatrix}}}$

bzw.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{2}}\end{pmatrix}}}$

abgebildet.