Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum. Es sei

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V}$

eine nilpotente lineare Abbildung. Der Kern von ${\displaystyle {}\varphi }$ sei eindimensional. Es sei

${\displaystyle {}V_{i}=\operatorname {kern} \varphi ^{i}\,}$

und ${\displaystyle {}s}$ die minimale Zahl mit

${\displaystyle {}\varphi ^{s}=0\,.}$

1. Zeige, dass alle ${\displaystyle {}V_{i}}$, ${\displaystyle {}1\leq i\leq s}$, eine direkte Zerlegung

   ${\displaystyle {}V_{i}=V_{i-1}\oplus U_{i}\,}$

   mit ${\displaystyle {}U_{i}}$ eindimensional haben.

2. Zeige, dass die Einschränkungen

   ${\displaystyle \varphi \colon U_{i}\longrightarrow V_{i-1}}$

   für ${\displaystyle {}1<i<s}$ bijektiv sind.

3. Zeige, dass ${\displaystyle {}s}$ mit der Dimension von ${\displaystyle {}V}$ übereinstimmt.