Modul/Homomorphismus/Surjektiv/Lokaler Test/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}M$ und ${}N$ Moduln über ${}R$ und ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ ein Modulhomomorphismus. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

${}\varphi$ ist surjektiv.

Es ist ${}\varphi _{\mathfrak {p}}\colon M_{\mathfrak {p}}\rightarrow N_{\mathfrak {p}}$ surjektiv für jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ .

Es ist ${}\varphi _{\mathfrak {m}}\colon M_{\mathfrak {m}}\rightarrow N_{\mathfrak {m}}$ surjektiv für jedes maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ .

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