Die Gleichheit von linearen Abbildungen kann man auf der Standardbasis ${\displaystyle {}e_{1},\ldots ,e_{p}}$ des ${\displaystyle {}K^{p}}$ nachweisen. Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(A\circ B\right)}{\left(e_{k}\right)}&=A(B(e_{k}))\\&=A{\left(\sum _{j=1}^{n}b_{jk}e_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}b_{jk}{\left(\sum _{i=1}^{m}a_{ij}e_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{m}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\right)}e_{i}\\&=\sum _{i=1}^{m}c_{ik}e_{i}.\end{aligned}}}$

Dabei sind die Koeffizienten

${\displaystyle {}c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,}$

gerade die Einträge in der Produktmatrix

${\displaystyle {}A\circ B}$