Es sei ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$ und es sei ${\displaystyle {}M}$ der reelle Vektorraum aller ${\displaystyle {}n\times n}$-Matrizen.

a) Zeige, dass die Menge ${\displaystyle {}S}$ der symmetrischen ${\displaystyle {}n\times n}$-Matrizen ein Untervektorraum von ${\displaystyle {}M}$ ist.

b) Bestimme die Dimension von ${\displaystyle {}S}$.

c) Zeige, dass die Menge ${\displaystyle {}A}$ der antisymmetrischen ${\displaystyle {}n\times n}$-Matrizen ein Untervektorraum von ${\displaystyle {}M}$ ist.

d) Bestimme die Dimension von ${\displaystyle {}A}$.

e) Schreibe die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3&6\\1&2\end{pmatrix}}}$

als Summe einer symmetrischen und einer antisymmetrischen Matrix.

f) Zeige, dass ${\displaystyle {}M}$ die direkte Summe aus ${\displaystyle {}S}$ und ${\displaystyle {}A}$