Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

Es seien ${}N_{1}$ und ${}N_{2}$ Dedekind-Peano-Modelle für die natürlichen Zahlen. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte bijektive Abbildung
$\varphi \colon N_{1}\longrightarrow N_{2}$

mit ${}\varphi (0_{1})=0_{2}$ und

${}\varphi (n')=(\varphi (n))'\,$
für alle ${}n\in N_{1}$ .
Es sei ${}S$ ein Symbolalphabet, ${}\Gamma$ eine Menge an ${}S$ -Ausdrücken und ${}\alpha$ ein weiterer ${}S$ -Ausdruck. Dann gilt ${}\Gamma \vDash \alpha$ genau dann, wenn ${}\Gamma \vdash \alpha$ gilt.
Die Menge der wahren arithmetischen Ausdrücke (ohne freie Variablen) ist nicht ${}R$ -entscheidbar.
Es sei ${}\Gamma \subseteq L^{\rm {Ar}}$ eine arithmetische Ausdrucksmenge, die widerspruchsfrei und aufzählbar sei und Repräsentierungen erlaube. Dann ist ${}\Gamma ^{\vdash }$ unvollständig.

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