Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe/Lösung

Die Sprache der Aussagenlogik ${}L^{V}$ ${}L^{V}$ wird rekursiv durch folgende Regeln definiert.
1. Jedes ${}p\in V$ gehört zu ${}L^{V}$ .
2. Wenn ${}\alpha \in L^{V}$ , so ist auch ${}\neg (\alpha )\in L^{V}$ .
3. Wenn ${}\alpha ,\beta \in L^{V}$ , so sind auch ${}(\alpha )\wedge (\beta ),\,(\alpha )\vee (\beta ),\,(\alpha )\rightarrow (\beta ),\,(\alpha )\leftrightarrow (\beta )\in L^{V}$ .
Das Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ heißt maximal, wenn ${}{\mathfrak {m}}\neq R$ ist und wenn es zwischen ${}{\mathfrak {m}}$ und ${}R$ keine weiteren Ideale gibt.
Unter der Uminterpretation ${}I{\frac {m}{x}}$ versteht man diejenige Interpretation von ${}S$ in ${}M$ , die strukturgleich zu ${}I$ ist und für deren Variablenbelegung
$\left(I{\frac {m}{x}}\right)(y)={\begin{cases}I(y),\,{\text{ falls }}y\neq x\,,\\m,\,{\text{ falls }}y=x\,,\end{cases}}$

gilt.
Man nennt eine weitere ${}S$ -Struktur ${}M'$ , die zu ${}M$ elementar äquivalent, aber nicht zu ${}M$ ${}S$ -isomorph ist, ein Nichtstandardmodell von ${}M$ .
Die Relation ${}R\subseteq \mathbb {N} ^{r}$ heißt arithmetisch repräsentierbar, wenn es einen ${}L^{\rm {Ar}}$ -Ausdruck ${}\psi$ in ${}r$ freien Variablen derart gibt, dass für alle ${}r$ -Tupel ${}(n_{1},\ldots ,n_{r})\in \mathbb {N} ^{r}$ die Äquivalenz ${}(n_{1},\ldots ,n_{r})\in R$ genau dann, wenn ${}\mathbb {N} \vDash \psi (n_{1},\ldots ,n_{r})$ gilt.
Man sagt, dass ein modallogischer Ausdruck ${}\alpha$ in einem modallogischen Modell ${}(M,R,\mu )$ gilt, wenn
$w\vDash \alpha$

für alle ${}w\in M$ gilt.

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