Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ seien ${\displaystyle {}K}$-Vektorräume und

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

sei eine ${\displaystyle {}K}$-lineare Abbildung und ${\displaystyle {}V}$ sei endlichdimensional.

Dann gilt

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}M}$ eine ${\displaystyle {}n\times n}$-Matrix über ${\displaystyle {}K}$. Es sei

${\displaystyle {}\chi _{M}=X^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+\cdots +c_{1}X+c_{0}\,}$

das charakteristische Polynom zu ${\displaystyle {}M}$.

Dann gilt

Das heißt, dass die Matrix das charakteristische Polynom annulliert.

Seien ${\displaystyle {}a\leq b}$ reelle Zahlen und sei ${\displaystyle {}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ eine stetige Funktion. Es sei ${\displaystyle {}u\in \mathbb {R} }$ eine reelle Zahl zwischen ${\displaystyle {}f(a)}$ und ${\displaystyle {}f(b)}$.

Dann gibt es ein ${\displaystyle {}x\in [a,b]}$ mit ${\displaystyle {}f(x)=u}$.

Es sei ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ eine beschränkte Folge von reellen Zahlen.

Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.