Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie. Es sei ${\displaystyle {}M=\bigcup _{i\in I}W_{i}}$ eine offene Überdeckung von ${\displaystyle {}M}$.

Dann gibt es einen abzählbaren verträglichen Atlas ${\displaystyle {}{\left(U_{j},\alpha _{j},V_{j}\right)}}$, ${\displaystyle {}j\in J}$, mit Ballumgebungen

(dabei ist ${\displaystyle 0\in V_{j}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ und ${\displaystyle \delta _{j}<\epsilon _{j}}$) derart, dass es für jedes ${\displaystyle {}j\in J}$ ein ${\displaystyle {}W_{i(j)}}$ mit ${\displaystyle {}U_{j}\subseteq W_{i(j)}}$ gibt, dass ${\displaystyle {}M}$ von ${\displaystyle {}\alpha _{j}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}}$, ${\displaystyle {}j\in J}$, überdeckt wird und dass jeder Punkt ${\displaystyle {}P\in M}$ nur in endlich vielen der Mengen ${\displaystyle {}U_{j}}$ liegt.