Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und es seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ endlichdimensionale ${\displaystyle {}K}$-Vektorräume. Es seien ${\displaystyle {}{\mathfrak {v}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {u}}}$ Basen von ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {w}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {z}}}$ Basen von ${\displaystyle {}W}$. Es sei

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basen ${\displaystyle {}{\mathfrak {v}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {w}}}$ durch die Matrix ${\displaystyle {}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )}$ beschrieben werde.

Dann wird ${\displaystyle {}\varphi }$ bezüglich der Basen ${\displaystyle {}{\mathfrak {u}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {z}}}$ durch die Matrix

beschrieben, wobei ${\displaystyle {}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}}$ und ${\displaystyle {}M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {w}}}$ die Übergangsmatrizen sind, die die Basiswechsel von ${\displaystyle {}{\mathfrak {v}}}$ nach ${\displaystyle {}{\mathfrak {u}}}$ und von ${\displaystyle {}{\mathfrak {w}}}$ nach ${\displaystyle {}{\mathfrak {z}}}$ beschreiben.