Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Grad einer endlichen Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$.
2. Eine algebraische Zahl ${\displaystyle {}z\in \mathbb {C} }$.
3. Zwei konjugierte Elemente ${\displaystyle {}x,y\in L}$ in einer endlichen Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$.
4. Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$.
5. Eine auflösbare Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
6. Ein konstruierbares ${\displaystyle {}n}$-Eck (${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{+}}$).

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Lemma von Bezout für zwei Elemente ${\displaystyle {}a,b}$ in einem Hauptidealbereich.
2. Der Satz über den Zusammenhang zwischen Charakteren von ${\displaystyle {}D}$ und Automorphismen von ${\displaystyle {}D}$-graduierten Körpererweiterungen ${\displaystyle {}K\subseteq L}$.
3. Der Satz über konjugierte Elemente bei einer normalen Körpererweiterung.

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper ${\displaystyle {}K={\mathbb {F} }_{9}=\mathbb {Z} /(3)[U]/(U^{2}+1)}$, wobei die Restklasse von ${\displaystyle {}U}$ mit ${\displaystyle {}u}$ bezeichnet sei.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1+2u&2\\2+u&2+2u\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+u\\1+2u\end{pmatrix}}.}$

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]/(X^{3}+4X^{2}-7)}$ das Inverse von ${\displaystyle {}{\frac {1}{3}}x+5}$ (${\displaystyle {}x}$ bezeichnet die Restklasse von ${\displaystyle {}X}$).

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}K[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$. Zeige unter Verwendung der Division mit Rest, dass ${\displaystyle {}K[X]}$ ein Hauptidealbereich ist.

Wir betrachten die Körpererweiterung

${\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {3}},{\mathrm {i} }]=L.}$

a) Bestimme den Grad der Körpererweiterung ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L}$.

b) Beschreibe eine möglichst einfache ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basis von ${\displaystyle {}L}$.

c) Zeige, dass eine graduierte Körpererweiterung vorliegt. Was ist die graduierende Gruppe?

d) Bestimme die ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Automorphismen von ${\displaystyle {}L}$.

e) Bestimme das Minimalpolynom von ${\displaystyle {}{\sqrt {3}}+{\mathrm {i} }}$.

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus

${\displaystyle \Phi \colon {\mathbb {F} }_{49}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{49}}$

bezüglich einer geeigneten ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{7}}$-Basis von ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{49}}$.

Sei ${\displaystyle {}\mathbb {F} _{q}}$ ein endlicher Körper der Charakteristik ungleich ${\displaystyle {}2}$. Zeige unter Verwendung der Isomorphiesätze, dass genau die Hälfte der Elemente aus ${\displaystyle {}\mathbb {F} _{q}^{\times }}$ ein Quadrat in ${\displaystyle {}\mathbb {F} _{q}}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}a\in \mathbb {N} }$ eine Primzahl. Zeige, dass ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{a}}]}$ eine Körpererweiterung ist, die keine Galoiserweiterung ist.

Bestimme das Kreisteilungspolynom ${\displaystyle {}\Phi _{15}}$.

Wie viele Unterkörper besitzt der Kreisteilungskörper ${\displaystyle {}K_{13}}$?

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine auflösbare Gruppe und ${\displaystyle {}H\subseteq G}$ eine Untergruppe. Zeige, dass auch ${\displaystyle {}H}$ auflösbar ist.

Beschreibe die wesentlichen mathematischen Schritte, mit denen man beweisen kann, dass die „Quadratur des Kreises“ nicht möglich ist.