Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung ${\displaystyle {}F\colon L\rightarrow M}$.
2. Die Assoziativität einer Verknüpfung

   ${\displaystyle \circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.}$

3. Eine Primzahl.
4. Ein Ring ${\displaystyle {}R}$.
5. Ein gemeinsamer Teiler von natürlichen Zahlen ${\displaystyle {}a_{1},\ldots ,a_{k}}$.
6. Ein Dezimalbruch.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. /Fakt/Name
2. /Fakt/Name
3. /Fakt/Name

Erstelle eine Wertetabelle, die für jede natürliche Zahl von ${\displaystyle {}1}$ bis ${\displaystyle {}10}$ ausgibt, mit wie vielen Eurozahlen die Zahl minimal darstellbar ist.

Wir behaupten, dass die Summe von vier aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen durch ${\displaystyle {}8}$ teilbar ist.

1. Beweise diese Aussage mit vollständiger Induktion.
2. Beweise diese Aussage ohne vollständige Induktion.

Beweise die Integritätseigenschaft für die natürlichen Zahlen.

Winnetou und Old Shatterhand liegen nachts am Strand des Rio Pecos und halten ihre vom harten Tagesritt müden Füße in den Fluss. Dabei schauen sie in den Himmel und zählen Sternschnuppen. Winnetou sieht ${\displaystyle {}117}$ und Old Shatterhand sieht ${\displaystyle {}94}$ Sternschnuppen. Old Shatterhand sieht von den von Winnetou gesichteten Sternschnuppen ${\displaystyle {}39}$ nicht. Wie viele der Sternschnuppen, die von Old Shatterhand gesichtet wurden, sieht Winnetou nicht?

Berechne

${\displaystyle ----------------7\cdot -------11.}$

Bestimme, für welche ${\displaystyle {}n\geq 2}$ der Binomialkoeffizient

${\displaystyle {\binom {n}{2}}}$

eine Primzahl ist.

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen ${\displaystyle {}d,n}$ mit ${\displaystyle {}d>0}$ eindeutig bestimmte ganze Zahlen ${\displaystyle {}q,r}$ mit ${\displaystyle {}0\leq r<d}$ und mit

${\displaystyle {}n=dq+r\,}$

gibt.

In einem mathematischen Text steht „${\displaystyle {}n=1,2}$“. Welche Bedeutungen könnten damit gemeint sein?

Bestimme, von welcher Art (im Sinne der Vorlesung) die folgenden Gleichungen sind.

1. ${\displaystyle {}-(-x)=x\,,}$

2. ${\displaystyle {}x^{2}-3x+5=0\,.}$

3. ${\displaystyle {}13-8=5\,,}$

4. ${\displaystyle {}a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}10^{i}\,.}$

Es bezeichne ${\displaystyle {}N}$ die Nachfolgerabbildung und ${\displaystyle {}V}$ die Vorgängerabbildung auf den ganzen Zahlen. Begründe die Umlegungsregel

${\displaystyle {}x+y=N(x)+V(y)\,}$

unter Bezug auf das Assoziativgesetz der Addition.

1. Finde eine ganzzahlige Lösung ${\displaystyle {}(x,y)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$ für die Gleichung

   ${\displaystyle {}x^{2}-y^{3}+2=0\,.}$

2. Zeige, dass

   ${\displaystyle \left({\frac {383}{1000}},\,{\frac {129}{100}}\right)}$

   eine Lösung für die Gleichung

   ${\displaystyle {}x^{2}-y^{3}+2=0\,}$

   ist.

Der Flächeninhalt eines Quadrates mit Seitenlänge ${\displaystyle {}1}$ (das Einheitsquadrat) wird als ${\displaystyle {}1}$ festgelegt.

1. Begründe, dass ein Rechteck, dessen Seitenlängen ${\displaystyle {}a,b\in \mathbb {N} }$ sind, den Flächeninhalt ${\displaystyle {}ab}$ besitzt. Welche naheliegenden Gesetzmäßigkeiten für den Flächeninhalt werden dabei verwendet?
2. Begründe, dass ein Rechteck, dessen Seitenlängen ${\displaystyle {}x,y\in \mathbb {Q} _{+}}$ sind, den Flächeninhalt ${\displaystyle {}ab}$ besitzt.

Finde eine natürliche Zahl ${\displaystyle {}n}$ derart, dass

${\displaystyle {}{\left({\frac {8}{7}}\right)}^{n}\geq 1000\,}$

ist.

1. Durch welche ganze Zahlen kann man innerhalb der Dezimalbrüche stets dividieren?
2. Durch welche rationalen Zahlen kann man innerhalb der Dezimalbrüche stets dividieren?

Man gebe ein Beispiel für eine konvergente Folge ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ in einem angeordneten Körper ${\displaystyle {}K}$, die in einem größeren angeordneten Körper

${\displaystyle {}K\subseteq L\,}$

nicht konvergiert.

Diskutiere Unterschiede und Gemeinsamkeiten zwischen der Abziehregel und der Kürzungsregel auf ${\displaystyle {}\mathbb {N} }$.