Beweisschritt 1.1: Eigenschaften Linearität

Seien nun ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle u_{1},u_{2}\in {\widehat {U}}}$. Dann liefert die ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Linearität von ${\displaystyle {\widehat {f}}\colon {\widehat {U}}\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\hat {g}}(\lambda _{1}u_{1}+\lambda _{2}u_{2})&+&i\cdot {\hat {h}}(\lambda _{1}u_{1}+\lambda _{2}u_{2})={\widehat {f}}(\lambda _{1}u_{1}+\lambda _{2}u_{2})\\&=&\lambda _{1}{\widehat {f}}(u_{1})+\lambda _{2}{\widehat {f}}(u_{2})\\&=&\lambda _{1}\left({\hat {g}}(u_{1})+i\cdot {\hat {h}}(u_{1})\right)+\lambda _{2}\left({\hat {g}}(u_{2})+i\cdot {\hat {h}}(u_{2})\right)\\&=&\left(\lambda _{1}{\hat {g}}(u_{1})+\lambda _{2}{\hat {g}}(u_{2})\right)+i\cdot \left(\lambda _{1}{\hat {h}}(u_{1})+\lambda _{2}{\hat {h}}(u_{2})\right)\\\end{array}}}$

Beweisschritt 1.2: Realteil- und Imaginärteilvergleich

Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn der Realteil und der Imaginärteil der beiden Zahlen übereinstimmen. D.h. aus

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\hat {g}}(\lambda _{1}u_{1}+\lambda _{2}u_{2})&+&i\cdot {\hat {h}}(\lambda _{1}u_{1}+\lambda _{2}u_{2})=\\&=&\left(\lambda _{1}{\hat {g}}(u_{1})+\lambda _{2}{\hat {g}}(u_{2})\right)+i\cdot \left(\lambda _{1}{\hat {h}}(u_{1})+\lambda _{2}{\hat {h}}(u_{2})\right)\end{array}}}$

Also liefert der Realteil- und Imaginärteilvergleich.

• ${\displaystyle {\hat {g}}(\lambda _{1}u_{1}+\lambda _{2}u_{2})=\lambda _{1}{\hat {g}}(u_{1})+\lambda _{2}{\hat {g}}(u_{2})}$ und
• ${\displaystyle {\hat {h}}(\lambda _{1}u_{1}+\lambda _{2}u_{2})=\lambda _{1}{\hat {h}}(u_{1})+\lambda _{2}{\hat {h}}(u_{2})}$.

Damit sind die Funktionen ${\displaystyle {\hat {g}}}$ und ${\displaystyle {\hat {h}}}$ auch ${\displaystyle \mathbb {R} }$-linear.

Beweisschritt 1.3: Zusammenhang Realteil- und Imaginärteilfunktion

Die Realteilfunktion ${\displaystyle {\hat {g}}}$ und ${\displaystyle {\hat {h}}}$ können aber nicht unabhängig ${\displaystyle \mathbb {R} }$-linear definiert. Sie sind abhängig. Dies zeigt:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\hat {g}}(i\cdot u)+i\cdot {\hat {h}}(i\cdot u)&=&{\widehat {f}}(i\cdot u)\\&=&i\cdot {\widehat {f}}(u)\\&=&i\cdot \left({\hat {g}}(u)+i\cdot {\hat {h}}(u)\right)\\&=&i\cdot {\hat {g}}(u)-{\hat {h}}(u)\\\end{array}}}$

Analog erhält man durch Vergleich von Realteil und Imaginärteil die Gleichungen ${\displaystyle {\hat {g}}(i\cdot u)=-{\hat {h}}(u)}$ und ${\displaystyle {\hat {h}}(i\cdot u)={\hat {g}}(u)}$.

Beweisschritt 1.4: Darstellung der linearen Abbildung

Durch Anwendung des Realteil- und Imaginärteilvergleichs erhält man mit ${\displaystyle 1=-i^{2}}$ folgende Gleichungskette:

${\displaystyle {\hat {h}}(u)={\hat {h}}\left(-i^{2}u\right)=-{\hat {h}}\left(i^{2}u\right)=-{\hat {g}}\left(iu\right)}$

Damit kann man ${\displaystyle {\hat {h}}(u)}$ durch ${\displaystyle -{\hat {g}}\left(iu\right)}$ ersetzen und erhält:

${\displaystyle {\widehat {f}}(u)={\hat {g}}\left(u\right)-i\cdot {\hat {g}}\left(i\cdot u\right){\mbox{ für alle }}u\in {\widehat {U}}}$

Beweisschritt 2.1: Halbnormbeschränkung

Zunächst einmal muss man nachweisen, dass die Voraussetzung für die Anwendung des Hahn-Banach - reellwertiger Fall für die Halbnormbeschränkung gegeben sind. Für alle ${\displaystyle u\in U}$ gilt:

${\displaystyle g(u)\leq |g(u)|={\sqrt {(g(u))^{2}}}\leq {\sqrt {(g(u))^{2}+(h(u))^{2}}}=|f(u)|}$

Beweisschritt 2.2: Halbnormbeschränkung für Betrag

Da nach Voraussetzung mit ${\displaystyle f(u)\leq p(u)}$ für alle ${\displaystyle u\in U}$ und ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {B} }$ mit ${\displaystyle |\lambda |=1}$ auch

${\displaystyle \lambda \cdot f(u)=f(\lambda \cdot u)\leq p(\lambda \cdot u)=|\lambda |\cdot p(u)=p(u)}$

gilt, folgt mit der Linearität von ${\displaystyle f}$ auch ${\displaystyle |f(u)|\leq p(u)}$. Mit Beweisschritt 2.1 erhält man die Abschätzung:

${\displaystyle g(u)\leq |g(u)|\leq |f(u)|\leq p(u)}$

Beweisschritt 2.3: Reellwertiger Grundvektorraum

Mit ${\displaystyle \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$ kann man den Grundraum ${\displaystyle V}$ und den Untervektorraum ${\displaystyle U}$ auch als reellen Vektorraum auffassen, auf dem das ${\displaystyle \mathbb {R} }$-lineare Funktional ${\displaystyle g:U\to \mathbb {R} }$ definiert ist. Durch Anwendung des reellen Falles von Hahn-Banach erhält man ein lineares Funktional ${\displaystyle G\colon V\to \mathbb {R} }$, so dass

• ${\displaystyle G|_{U}=g}$ und.
• ${\displaystyle G(v)\leq p(v)}$ für alle ${\displaystyle v\in V}$ gilt.

Beweisschritt 2.3: Definition von F über G

Man definiert nun die Abbildung ${\displaystyle F\colon V\to \mathbb {C} }$ wie bzgl. Beweisteil 1 folgt:

${\displaystyle F(x):=G(x)-i\cdot G(i\cdot x){\mbox{ für alle }}x\in V}$

wobei ${\displaystyle F}$ ebenso wie ${\displaystyle G}$ auch ${\displaystyle \mathbb {R} }$-linear ist.

Beweisschritt 3.1: Linearität von F

Für ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in V}$ gilt:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}F(x_{1}+x_{2})&=&G(x_{1}+x_{2})-i\cdot G\left(i\cdot (x_{1}+x_{2})\right)\\&=&G(x_{1})+G(x_{2})-i\cdot \left(G(i\cdot x_{1})+G(i\cdot x_{2})\right)\\&=&\left(G(x_{1})-i\cdot G(i\cdot x_{1})\right)+\left(G(x_{2})-i\cdot G(i\cdot x_{2})\right)\\&=&F(x_{1})+F(x_{2})\end{array}}}$

Beweisschritt 3.2: Linearität von F

Für ${\displaystyle x\in V}$, ${\displaystyle \lambda =\lambda _{1}+i\lambda _{2}\in \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R} }$gilt:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}F(\lambda \cdot x)&=&F((\lambda _{1}+i\lambda _{2})\cdot x)\\&=&G((\lambda _{1}+i\lambda _{2})\cdot x)-i\cdot G\left(i\cdot (\lambda _{1}+i\lambda _{2})\cdot x\right)\\&=&\lambda _{1}G(x)+\lambda _{2}G(ix)-i\cdot \left(\lambda _{1}G(i\cdot x)+\lambda _{2}G(i\cdot x)\right)\\&=&(\lambda _{1}+i\lambda _{2})\cdot \left(G(x)-i\cdot G(i\cdot x)\right){\mbox{ mit }}\lambda _{2}G(ix)=-i\lambda _{2}iG(ix)\\&=&(\lambda _{1}+i\lambda _{2})\cdot F(x)=\lambda \cdot F(x)\end{array}}}$

Beweisschritt 4.1: Einschränkung von F auf U

Sei ${\displaystyle u\in U}$ beliebig gewählt. Weil ${\displaystyle U}$ ein Untervektorraum des ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Vektorraumes ${\displaystyle V}$ ist, liegt auch ${\displaystyle i\cdot u\in U}$. Damit erhält man:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}F(u)&=&G(u)-i\cdot G(\underbrace {i\cdot u} _{\in U}){\mbox{ nach Definition von }}F\\&=&g(u)-i\cdot g(i\cdot u){\mbox{ wegen }}G|_{U}=g\\&=&f(u)\end{array}}}$

Beweisschritt 4.2: Halbnormbeschränkung

Für den Nachweis der Ungleichung ${\displaystyle F(x)\leq p(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in V}$ erfolgt eine Fallunterscheidung für:

• ${\displaystyle F(x)=0}$ und
• ${\displaystyle F(x)\not =0}$.

Beweisschritt 4.3: Halbnormbeschränkung

Da ${\displaystyle p:V\to \mathbb {R} }$ eine Halbnorm ist, gilt ${\displaystyle p(x)\geq 0}$. Damit erhält man für ${\displaystyle F(x)=0}$ die Gültigkeit der Ungleichung direkt über:

${\displaystyle F(x)=0\leq p(x)}$

Beweisschritt 4.4: Halbnormbeschränkung

Im zweiten Fall sei nun ${\displaystyle F(x)\not =0}$ mit ${\displaystyle F(x)=r\cdot e^{i\alpha }}$, ${\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{+}}$ und ${\displaystyle \alpha \in [0,2\pi ]}$. Damit erhält man folgende Ungleichung:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}|F(x)|&=&r=e^{-i\alpha }\cdot e^{i\alpha }\cdot r=e^{-i\alpha }\cdot F(x)\\&=&F\left(e^{-i\alpha }\cdot x\right){\mbox{ da }}F\ \mathbb {C} {\mbox{-linear ist}}\\&=&\underbrace {G\left(e^{-i\alpha }\cdot x\right)} _{=r}-i\underbrace {G\left(i\cdot e^{-i\alpha }\cdot x\right)} _{=0}\\&=&G\left(e^{-i\alpha }\cdot z\right)\leq p\left(e^{-i\alpha }\cdot x\right)=\underbrace {|e^{-i\alpha }|} _{=1}\cdot p(x)=p(x)\end{array}}}$

Beweisschritt 4.5

Damit besitzt insgesamt das lineares Funktional ${\displaystyle F\colon V\to \mathbb {C} }$ die folgenden beiden Eigenschaften:

• ${\displaystyle F|_{U}=f}$ und.
• ${\displaystyle |F(v)|\leq p(v)}$ für alle ${\displaystyle v\in V}$

Damit folgt der komplexe Fall von Hahn-Banach. q.e.d.

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