Beweisschritt 1.1: Eigenschaften Linearität

Unter der Ausnutzung der Eigenschaften der Linearität muss das gesuchte lineare Funktional ${\displaystyle f_{1}:U_{1}\to \mathbb {R} }$ die folgende Eigenschaft für ein ${\displaystyle x=\lambda \cdot x_{1}+u\in U_{1}}$ erfüllen:

${\displaystyle f_{1}(x)=f_{1}(\lambda \cdot x_{1}+u)=\lambda \cdot f_{1}(x_{1})+f_{1}(u)=\lambda \cdot f_{1}(x_{1})+f(u)}$

Die Aufgabe in Beweisteil 1 besteht also darin, ein ${\displaystyle \alpha$ :=f_{1}(x_{1})\in \mathbb {R} } zu finden, das die Eigenschaft ${\displaystyle f_{1}(x)\leq p(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in U_{1}}$ erfüllt.

Beweisschritt 1.2: Beschränktheit durch die Halbnorm

Für ein beliebiges ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ wird nun ein lineares Funktional ${\displaystyle f_{\alpha }(x)}$ definiert mit:

${\displaystyle f_{\alpha }(x)=\lambda \cdot \alpha +f(u){\mbox{ mit }}x=\lambda \cdot x_{1}+u}$

Für alle ${\displaystyle f_{\alpha }}$ gilt die Bedingung ${\displaystyle f_{\alpha }|_{U}=f}$. Das gesuchte ${\displaystyle f_{1}}$ wird aus der Menge der lineare Funktionale ${\displaystyle \{f_{\alpha }\,|\,\alpha \in \mathbb {R} \}}$ bestimmt.

Beweisschritt 1.3: Beschränktheit durch die Halbnorm

Wenn ein lineares Funktional ${\displaystyle f_{\alpha }(x)}$ die Eigenschaft ${\displaystyle f_{\alpha }\leq p|_{U_{1}}}$ erfüllt, gilt für alle ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ die Bedingung:

${\displaystyle f_{\alpha }(x)=f_{\alpha }(\underbrace {\lambda \cdot x_{1}+u} _{=x\in U_{1}})=\lambda \cdot \alpha +f(u)\leq p(\lambda \cdot x_{1}+u)=p(x)}$

Beweisschritt 1.3: Beschränktheit durch die Halbnorm - Fallunterscheidnng

Wir betrachten nun diese Gleichung mit einer Fallunterscheidung für ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle x=\lambda \cdot x_{1}+u\in U}$

• Fall 1: ${\displaystyle \lambda =0}$
• Fall 2: ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{+}}$
• Fall 3: ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{-}}$

Beweisschritt 1.4: Beschränktheit durch die Halbnorm - Fall 1

Fall 1 ${\displaystyle \lambda =0}$: In diesem Fall ist ${\displaystyle x=\lambda \cdot x_{1}+u=u\in U}$ und die Ungleichung ${\displaystyle f_{\alpha }(x)=f(u)\leq p(u)=p(x)}$ sogar für beliebige ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$

Beweisschritt 1.5: Beschränktheit durch die Halbnorm - Fall 2

Fall 2 ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{+}}$: Für ${\displaystyle x=\lambda \cdot x_{1}+u\in U_{1}}$ und Multiplikation der Gleichung mit ${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}}$ erhält man die Ungleichung:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}f_{\alpha }\left({\frac {1}{\lambda }}x\right)&=&f_{\alpha }\underbrace {\left(x_{1}+{\frac {1}{\lambda }}u\right)} _{\in U_{1}}=\alpha +f\left({\frac {1}{\lambda }}\cdot u\right)\\&\leq &p\left(x_{1}+{\frac {1}{\lambda }}\cdot u\right)=p(x){\mbox{ mit }}{\frac {1}{\lambda }}\cdot u\in U\end{array}}}$

Damit erhält man ${\displaystyle \alpha \leq p\left(x_{1}+{\frac {1}{\lambda }}\cdot u\right)-f\left({\frac {1}{\lambda }}\cdot u\right)}$ bzw. ${\displaystyle \alpha \leq p\left(x_{1}+u\right)-f\left(u\right)}$ für alle ${\displaystyle u\in U}$.

Beweisschritt 1.6: Beschränktheit durch die Halbnorm - Fall 3

Fall 3 ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{-}}$ Für ${\displaystyle x=\lambda \cdot x_{1}+u\in U_{1}}$ und Multiplikation der Gleichung mit ${\displaystyle -{\frac {1}{\lambda }}}$ erhält man die Ungleichung:

${\displaystyle {\mbox{ }}{\begin{array}{rcl}p\left(-{\frac {1}{\lambda }}x\right)&=&p\left(-x_{1}-{\frac {1}{\lambda }}u\right)\\&\geq &f_{\alpha }\underbrace {\left(-x_{1}-{\frac {1}{\lambda }}u\right)} _{=-{\frac {1}{\lambda }}x}=-\alpha -f\left({\frac {1}{\lambda }}\cdot u\right){\mbox{ mit }}-{\frac {1}{\lambda }}\cdot u\in U\end{array}}}$

Damit erhält man ${\displaystyle \alpha \geq -p\left(-x_{1}-{\frac {1}{\lambda }}\cdot u\right)-f\left({\frac {1}{\lambda }}\cdot u\right)}$ bzw. ${\displaystyle \alpha \geq -p\left(-x_{1}-{\tilde {u}}\right)-f\left({\tilde {u}}\right)}$ für alle ${\displaystyle {\tilde {u}}\in U}$.

Beweisschritt 1.7: Ungleichungskette für alpha

Die Fallunterscheidung liefert also folgende Ungleichungskette für ${\displaystyle \alpha }$, die ein gesuchtes lineares Funktional ${\displaystyle f_{\alpha }}$ erfüllen für beliebige ${\displaystyle u,{\tilde {u}}\in U}$ erfüllen muss:

${\displaystyle -p\left(-x_{1}-{\tilde {u}}\right)-f\left({\tilde {u}}\right)\leq \alpha \leq p\left(x_{1}+u\right)-f\left(u\right)}$

Da ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ fest gewählt werden muss, kann das nur extieren, wenn für alle ${\displaystyle u,{\tilde {u}}\in U}$ auch die folgenden Ungleichung gilt:

${\displaystyle -p\left(-x_{1}-{\tilde {u}}\right)-f\left({\tilde {u}}\right)\leq p\left(x_{1}+u\right)-f\left(u\right)}$

Beweisschritt 1.8: Ungleichungskette für Infimum und Supremum

Wir zeigen nun in 1.8. dass die folgenden Ungleichung für das Supremum und Infimum gilt:

${\displaystyle s_{1}:=\sup _{{\tilde {u}}\in U}\{-p(-x_{1}-{\tilde {u}})-f({\tilde {u}})\}\leq \inf _{u\in U}\{p(x_{1}+u)-f(u)\}=:s_{2}}$

Wenn diese Ungleichung gilt, kann das gesuchte ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ aus dem Intervall ${\displaystyle [s_{1},s_{2}]}$ beliebig gewählt werden.

Beweisschritt 1.9

Wähle nun ein beliebiges ${\displaystyle \alpha \in [s_{1},s_{2}]}$ und definiere die gesuchte Erweiterung ${\displaystyle f_{1}:U_{1}\to \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle f_{1}(x)=f(\underbrace {\lambda \cdot x_{1}+u} _{=x})=\lambda \cdot \alpha +f(u)}$ ${\displaystyle f_{1}:U_{1}\to \mathbb {R} }$ kann nur induktiv auf ${\displaystyle f_{2}:U_{2}\to \mathbb {R} }$ erweitern und damit kann man immer weiter die Funktionale auf Obermenge von dem gegebenen ${\displaystyle U}$ erweitert. Nun fehlt noch der zweite Beweisteil über das Lemma von Zorn, dass man in unendlichdimensionalen Vektorräume auch auf ganz ${\displaystyle V}$ das lineare Funktional erweitern kann.

Beweisschritt 2.1: Definition partiellen Ordnung

Auf der Menge ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ von Paaren ${\displaystyle (g,{\widetilde {U}})}$ definiert man nun eine partielle Ordnung:

${\displaystyle (g_{1},{\widetilde {U}}_{1})\prec (g_{2},{\widetilde {U}}_{2}):\Longleftrightarrow {\widetilde {U}}_{1}\subset {\widetilde {U}}_{2}\wedge g_{2}|_{{\widetilde {U}}_{1}}=g_{1}}$

Beweisschritt 2.2: Eigenschaften der Menge

Die Menge ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ von Paaren ${\displaystyle (g,{\widetilde {U}})}$ besitzt folgende Eigenschaften:

• ${\displaystyle {\mathcal {E}}\not =\emptyset }$, da ${\displaystyle (f,U)\in {\mathcal {E}}}$ aus der Voraussetzung des Satzes die Eigenschaften erfüllt.
• Für eine Kette ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{0}\not =\emptyset }$ mit ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{0}\subseteq {\mathcal {E}}}$ (d.h. es gibt eine totale Ordnung auf ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{0}}$) kann z.B. über die sukzessive Erweiterungen ${\displaystyle (g_{1},{\widetilde {U}}_{1})\prec (g_{2},{\widetilde {U}}_{2})\prec (g_{3},{\widetilde {U}}_{3})\prec ...}$ ein Kette konstruieren.

Beweisschritt 2.3: Ketten haben obere Schranken

Wir zeigen nun, dass unter den oben genannte Voraussetzungen Ketten obere Schranken besitzen. Wenn diese Eigenschaften der partielle geordneten Menge gegeben ist, kann man das Lemma von Zorn auf ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ anwenden.

• Sei ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{0}\not =\emptyset }$ eine Kette und
• ${\displaystyle M:=\bigcup _{(g,{\widetilde {U}})\in {\mathcal {E}}_{0}}{\widetilde {U}}\subseteq V}$ ist ein Untervektoraum von ${\displaystyle V}$.

Im Allgemeinen ist die Vereinigung von zwei Untervektorräumen nicht notwendigerweise wieder ein Untervektorraum. In diesem Fall gilt die Aussage aber, weil durch die vollständige Ordnung auf ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{0}}$ eine Mengeninklusion zwischen zwei beliebige Paare ${\displaystyle (g_{1},{\widetilde {U}}_{1})\prec (g_{2},{\widetilde {U}}_{2})}$ mit ${\displaystyle {\widetilde {U}}_{1}\subset {\widetilde {U}}_{2}}$ und ${\displaystyle g_{2}|_{{\widetilde {U}}_{1}}=g_{1}}$ gilt.

Beweisschritt 2.4: Definition eine Funktionals für obere Schranken

Mit ${\displaystyle M:=\bigcup _{(g,{\widetilde {U}})\in {\mathcal {E}}_{0}}{\widetilde {U}}\subset V}$ ist ein Untervektoraum definiert für die Kette. Für eine obere Schranke der Kette benötigt man noch ein lineare Funktional ${\displaystyle g_{M}:M\to \mathbb {R} }$, das mit ${\displaystyle (g_{M},M)}$ auch ein Element in ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{0}}$ ist:

• Sei ${\displaystyle x\in M}$, dann gibt ein ${\displaystyle (g,{\widetilde {U}})\in {\mathcal {E}}_{0}}$ mit ${\displaystyle x\in {\widetilde {U}}}$.
• Definiere nun ${\displaystyle g_{M}(x):=g(x)}$. Diese Definition ist durch u.a. durch die vollständige Ordnung auf ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{0}}$ wohldefiniert, da mit ${\displaystyle (g_{1},{\widetilde {U}}_{1})\prec (g_{2},{\widetilde {U}}_{2})}$auch ${\displaystyle g_{2}|_{{\widetilde {U}}_{1}}=g_{1}}$ erfüllt ist.

Beweisschritt 2.5: Maximale Elemente existieren

Mit dem Lemma von Zorn existieren nun maximale Elemente in ${\displaystyle (g_{\widetilde {M}},{\widetilde {M}})}$ in ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$. Wir nehmen nun an, dass ein solches maximales Element ${\displaystyle (g_{\widetilde {M}},{\widetilde {M}})}$ die Eigenschaft besitzt, dass ${\displaystyle {\widetilde {M}}\not =V}$ wäre. Dann existiert aber ein könnte man aber ${\displaystyle x_{2}\in V\setminus {\widetilde {M}}}$, mit dem man ${\displaystyle g_{\widetilde {M}}}$ auf einen Obermenge ${\displaystyle {\widetilde {U}}_{2}\subset V}$ erweitert und analog zum Beweisteil 1 eine Paar ${\displaystyle (g_{2},{\widetilde {U}}_{2})}$ definieren, dass die Eigenschaft ${\displaystyle (g_{\widetilde {M}},{\widetilde {M}})\prec (g_{2},{\widetilde {U}}_{2})}$ erfüllt. Dies wäre aber ein Widerspruch zu der Annahme, dass ${\displaystyle (g_{\widetilde {M}},{\widetilde {M}})}$ bereit maximal ist.

Wiki2Reveal

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Funktionalanalysis' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.

• Die Seite wurde als Dokumententyp PanDocElectron-SLIDE erstellt.
• Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach%20-%20reeller%20Fall
• siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.