Einleitung

Der Quotientenvektorraum, auch kurz Quotientenraum oder Faktorraum genannt, ist ein Begriff aus der linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik. Er ist derjenige Vektorraum, der als Bild einer Parallelprojektion entlang eines Untervektorraums entsteht. Die Elemente des Quotientenvektorraumes sind Äquivalenzklassen. In einem Quotientenvektorraum entspricht der Nullvektor dem Untervektorraum bzgl. dem der Quotientenraum gebildet wird. Alle anderen Elemente entstehen durch Verschiebung des Untervektorraumen mit einem Repräsentanten des Vektorraumes.

Definition: Aquivalenzrelation

Es sei ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum über einem Körper ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle U}$ ein Untervektorraum von ${\displaystyle V}$. Durch die Festsetzung

${\displaystyle v_{1}\sim v_{2}\;:\!\iff v_{1}-v_{2}\in U}$ für ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V}$

wird auf ${\displaystyle V}$ eine Äquivalenzrelation definiert.

Geometrische Interpretation

Die Vektoren ${\displaystyle v_{1}}$ und ${\displaystyle v_{2}}$ sind also äquivalent, wenn sie sich um einen Vektor aus ${\displaystyle u\in U}$ unterscheiden. Geometrisch ausgedrückt:

Wenn die Gerade durch die Punkte ${\displaystyle v_{1}}$ und ${\displaystyle v_{2}}$ parallel zu ${\displaystyle U}$ ist, sind ${\displaystyle v_{1}}$ und ${\displaystyle v_{2}}$ äquivalent.

Äquivalenzklassen

Die Äquivalenzklasse eines Punktes ${\displaystyle v}$ ist

${\displaystyle [v]:=v+U:=\{v+u\mid u\in U\}}$,

anschaulich der zu ${\displaystyle U}$ „parallele“ affine Unterraum durch ${\displaystyle v}$. Die Äquivalenzklassen werden auch als Nebenklassen bezeichnet (dieser Begriff stammt aus der Gruppentheorie).

Definition: Quotientenvektorraum

Der Quotientenvektorraum von ${\displaystyle V}$ nach ${\displaystyle U}$ ist die Menge aller Äquivalenzklassen und wird mit ${\displaystyle V/U}$ bezeichnet:

${\displaystyle V/U:=\{[v]\mid v\in V\}}$.

Er bildet einen Vektorraum, wenn die Vektorraumoperationen vertreterweise definiert werden:

• ${\displaystyle [v_{1}]+[v_{2}]=[v_{1}+v_{2}]}$
• ${\displaystyle \lambda \cdot [v]=[\lambda v]}$

für ${\displaystyle v,v_{1},v_{2}\in V}$ und ${\displaystyle \lambda \in K}$.

Wohldefiniertheit der Operationen

Diese Operationen sind wohldefiniert, also von der Wahl der Vertreter unabhängig, d.h.

• Für ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in [v]}$ und ${\displaystyle w_{1},w_{2}\in [w]}$ gilt auch ${\displaystyle [v_{1}+w_{1}]=[v_{2}+w_{2}]}$
• Für ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in [v]}$ und ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }$ gilt auch ${\displaystyle [\lambda \cdot v_{1}]=[\lambda \cdot v_{2}]}$

bzw.

• Für ${\displaystyle v_{1}\in [v]}$ und ${\displaystyle w_{1}\in [w]}$ gilt auch ${\displaystyle [v_{1}+w_{1}]=[v+w]}$
• Für ${\displaystyle v_{1}\in [v]}$ und ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }$ gilt auch ${\displaystyle [\lambda \cdot v_{1}]=[\lambda \cdot v]}$

Eigenschaften 1

• Es gibt eine kanonische surjektive lineare Abbildung

${\displaystyle \pi \colon \;V\to V/U,\;v\mapsto [v]}$.

• Ist ${\displaystyle W}$ ein Komplement von ${\displaystyle U}$ in ${\displaystyle V}$, d. h. ist ${\displaystyle V}$ die direkte Summe von ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle W}$, so ist die Einschränkung von ${\displaystyle \pi }$ auf ${\displaystyle W}$ ein Isomorphismus. Es gibt aber keine kanonische Möglichkeit, ${\displaystyle V/U}$ als Unterraum von ${\displaystyle V}$ aufzufassen.

• Ist ${\displaystyle V}$ endlichdimensional, dann ergibt sich daraus die folgende Beziehung für die Dimensionen:

${\displaystyle \dim U+\dim V/U=\dim V}$

Eigenschaften 2

• Der Dualraum von ${\displaystyle V/U}$ kann mit denjenigen Linearformen auf ${\displaystyle V}$ identifiziert werden, die auf ${\displaystyle U}$ identisch ${\displaystyle 0}$ sind.

• Der Homomorphiesatz besagt, dass eine lineare Abbildung ${\displaystyle f\colon \;V\to W}$ einen Isomorphismus

${\displaystyle V/(Kern(f))\to \mathrm {im} \,f}$

zwischen dem Quotientenraum von ${\displaystyle V}$ nach dem Kern von ${\displaystyle f}$ und dem Bild von ${\displaystyle f}$ induziert, d. h. die Verkettung

${\displaystyle V\longrightarrow V/(Kern(f))\longrightarrow \mathrm {im} \,f\longrightarrow W}$

ist gleich ${\displaystyle f}$.

Anwendung in der Funktionalanalysis

Viele normierte Räume entstehen auf die folgende Weise: Sei ${\displaystyle V}$ ein reeller oder komplexer Vektorraum und sei ${\displaystyle p}$ eine Halbnorm auf ${\displaystyle V}$. Dann ist ${\displaystyle U=\{v\in V\mid p(v)=0\}}$ ein Untervektorraum von ${\displaystyle V}$. Der Quotientenraum ${\displaystyle V/U}$ wird dann mit der Norm ${\displaystyle [v]\mapsto p(v)}$ ein normierter Vektorraum.

Allgemeiner: Sei ${\displaystyle V}$ ein topologischer Vektorraum, der nicht hausdorffsch ist. Dann lässt sich analog zu oben ein Unterraum definieren: ${\displaystyle U=\{v\in V\mid {\text{Jede }}0{\text{-Umgebung enthält }}v\}={\overline {\{0\}}}}$. Der Quotientenraum ${\displaystyle V/U}$ wird mit der Quotiententopologie ein hausdorffscher topologischer Vektorraum.

Beispiele

Die folgenden Beispiele zeigen mathematische Anwendung für Quotientenräume:

• ${\displaystyle L^{p}}$-Räume
• Unterräume, die durch Halbnormen definiert werden,
• gemeometrische Interpretation

Siehe auch

• Quotientenabbildung
• Quotientenmodul
• Kolmogoroff-Quotient
• Kurs:Funktionalanalysis/Satz von Hahn-Banach

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Vieweg-Verlag, lSBN 3-528-97217-3.
• Klaus Jänich: Lineare Algebra. Springer-Lehrbuch, lSBN 3-540-66888-8.

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