Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Bild einer Abbildung

   ${\displaystyle F\colon L\longrightarrow M.}$

2. Eine Intervallschachtelung in einem angeordneten Körper ${\displaystyle {}K}$.
3. Die komplexe Konjugation.
4. Die Stetigkeit in einem Punkt ${\displaystyle {}a\in {\mathbb {K} }}$ einer Abbildung ${\displaystyle {}f:{\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }}$.
5. Eine Treppenfunktion

   ${\displaystyle f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} }$

   auf einem beschränkten reellen Intervall ${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$.

6. Die Integralfunktion zum Startpunkt ${\displaystyle {}a\in I}$ zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

   ${\displaystyle f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} }$

   auf einem reellen Intervall ${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
2. Das Majorantenkriterium für eine Reihe ${\displaystyle {}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$ von komplexen Zahlen.
3. Der Satz über die lineare Approximierbarkeit einer Funktion

   ${\displaystyle f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }}$

   in einem Punkt ${\displaystyle {}a\in {\mathbb {K} }}$.

Wir betrachten den Satz „Diese Vorlesung versteht keine Sau“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.

Ist die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+}\longrightarrow \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+},\,(a,b)\longmapsto (a+b,ab,a^{b}),}$

injektiv oder nicht?

Es seien ${\displaystyle {}L,M,N}$ Mengen und ${\displaystyle {}f\colon L\rightarrow M}$ und ${\displaystyle {}g\colon M\rightarrow N}$ Abbildungen. Zeige, dass für jede Teilmenge ${\displaystyle {}U\subseteq N}$ die Beziehung

${\displaystyle {}f^{-1}{\left(g^{-1}(U)\right)}={\left(g\circ f\right)}^{-1}(U)\,}$

gilt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass für ${\displaystyle {}x\geq 3}$ die Beziehung

${\displaystyle x^{2}+(x+1)^{2}\geq (x+2)^{2}}$

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine ${\displaystyle {}n}$-elementige Menge. Zeige, dass die Anzahl der ${\displaystyle {}k}$-elementigen Teilmengen von ${\displaystyle {}M}$ gleich dem Binomialkoeffizienten

${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$

ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein angeordneter Körper. Es sei ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Cauchy-Folge in ${\displaystyle {}K}$, die eine konvergente Teilfolge enthalte. Zeige, dass die Folge konvergiert.

Untersuche die Folge

${\displaystyle {}x_{n}={\sqrt {n}}\cdot {\sqrt {n+1}}-n\,}$

auf Konvergenz.

Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung

${\displaystyle {}ax^{2}+bx+c=0\,}$

mit ${\displaystyle {}a,b,c\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle {}a\neq 0}$.

Wir betrachten die alternierende Reihe der Stammbrüche ${\displaystyle {}\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$ mit

${\displaystyle {}x_{n}=(-1)^{n+1}{\frac {1}{n}}\,,}$

also

${\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}\cdots ,}$

die bekanntlich konvergiert.

a) Zeige, dass die umgeordnete Reihe

${\displaystyle 1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}-{\frac {1}{6}}\cdots ,}$

konvergiert.

b) Man gebe eine Umordnung der Reihe an, die divergiert.

Es sei

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

eine stetige Funktion, die abzählbar viele Werte annimmt. Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ konstant ist.

Man gebe ein Beispiel einer stetigen, nicht differenzierbaren Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

mit der Eigenschaft, dass die Funktion ${\displaystyle {}x\mapsto f{\left(\vert {x}\vert \right)}}$ differenzierbar ist.

Es sei

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

eine differenzierbare Funktion. Zeige durch Induktion, dass für die ${\displaystyle {}n}$-fache Hintereinanderschaltung (${\displaystyle n\geq 1}$)

${\displaystyle f^{\circ n}=f\circ f\circ \cdots \circ f\,\,\,(n{\text{ mal}})}$

die Beziehung

${\displaystyle {}{\left(f^{\circ n}\right)}'=f'\cdot \prod _{i=1}^{n-1}{\left(f'\circ f^{\circ i}\right)}\,}$

gilt.

Wir betrachten die Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,\,x\longmapsto f(x)=xe^{x}.}$

Zeige durch Induktion, dass die ${\displaystyle {}n}$-te Ableitung (${\displaystyle n\geq 1}$) von ${\displaystyle {}f}$ gleich

${\displaystyle {}f^{(n)}(x)={\left(x+n\right)}e^{x}\,}$

ist.

Wir betrachten die Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=\ln \left({\sqrt {1+x^{2}}}\right).}$

a) Bestimme die Ableitung ${\displaystyle {}f'}$.

b) Bestimme die zweite Ableitung ${\displaystyle {}f^{\prime \prime }}$.

Wir betrachten die Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{2}+1.}$

Bestimme die Tangenten an ${\displaystyle {}f}$, die lineare Funktionen sind (die also durch den Nullpunkt verlaufen).

Ein Dreieck soll die Grundseite ${\displaystyle {}[0,s]}$ und die Höhe ${\displaystyle {}h}$ besitzen (${\displaystyle s,h>0}$). Für welchen Höhenfußpunkt ${\displaystyle {}x}$ besitzt das Dreieck einen minimalen Umfang, und wie lange ist dieser?