Es sei ${\displaystyle {}R\subseteq S}$ eine endliche Erweiterung von kommutativen Ringen, sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ ein Primideal von ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}}$ ein Primideal von ${\displaystyle {}S}$ über ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$. Zeige, dass eine endliche Körpererweiterung der Restekörper ${\displaystyle {}\kappa ({\mathfrak {p}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}})}$ vorliegt.

Zeige, dass bei einem quadratischen Zahlbereich jedes numerisch mögliche Zerlegungsverhalten im Sinne der fundamentalen Gleichung auch auftritt.

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine endliche separable Körpererweiterung und sei ${\displaystyle {}K[X]\subseteq L[X]}$ die zugehörige endliche Erweiterung der Polynomringe in einer Variablen. Beweise die fundamentale Gleichung in diesem Fall.

Bestimme für den kubischen Zahlbereich ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\sqrt[{3}]{2}}]}$, welche der numerisch möglichen Zerlegungsverhalten im Sinne der fundamentalen Gleichung wirklich auftreten.

Bestimme das Zerlegungsverhalten von Primzahlen in dem durch die biquadratische Körpererweiterung ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {3}},{\sqrt {5}}]}$ gegebenen Zahlbereich.