a) Wegen besitzt das Polynom keine Nullstelle in . Daher ist es nach Fakt irreduzibel und somit ist nach Fakt das Minimalpolynom und somit besitzt die Körpererweiterung
den Grad . Eine -Basis ist durch gegeben.
b) Es ist
und
c) Eine dritte Potenz in besitzt die Form mit . Sei
mit . Dann ist
mit
und
Wegen müssen die beiden hinteren Komponenten sein, also
Daher ist auch
Sei zuerst der hintere Faktor . Bei müsste
sein, was der Irrationalität dieser dritten Wurzel widerspricht. Also ist und damit auch .
Sei nun
Wegen folgt daraus oder . In jedem Fall sind also mindestens zwei der Koeffizienten gleich . Die zugehörigen dritten Potenzen sind
und somit sind die rationalen Zahlen, die in diesem Körper eine dritte Wurzel besitzen, von der beschriebenen Art.
d) Wir betrachten die Körpererweiterung
Nach Teil b) ist . Somit ist irreduzibel über und daher besitzt nach der gleichen Argumentation wie unter a) die Körpererweiterung
den Grad . Nach der Gradformel besitzt die Gesamterweiterung
den Grad
.