Nach Konstruktion der Kreisteilungskörper ist klar, dass ${\displaystyle {}K_{n}}$ die ${\displaystyle {}n}$-ten Einheitswurzeln enthält. Wenn ${\displaystyle {}n}$ ungerade und ${\displaystyle {}\zeta }$ eine primitive ${\displaystyle {}n}$-te Einheitswurzel ist, so ist ${\displaystyle {}-\zeta }$ eine primitive ${\displaystyle {}2n}$-te Einheitswurzel und somit sind die Inklusionen ${\displaystyle {}\supseteq }$ klar. Es ist also noch zu zeigen, dass die Kreisteilungskörper keine weiteren Einheitswurzeln enthält. Dazu können wir annehmen, dass ${\displaystyle {}n}$ gerade ist. Sei ${\displaystyle {}\xi }$ eine zusätzliche Einheitswurzel der Ordnung ${\displaystyle {}m}$. Wir können annehmen, dass ${\displaystyle {}m}$ gerade und ein echtes Vielfaches von ${\displaystyle {}n}$ ist, da die von ${\displaystyle {}\xi }$ und einer primitiven ${\displaystyle {}n}$-ten Einheitswurzel ${\displaystyle {}\zeta }$ erzeugte Untergruppe wieder endlich und zyklisch und ihre Ordnung ein Vielfaches der beiden Ordnungen sein muss. Aus ${\displaystyle {}\mu _{m}\subseteq K_{n}}$ folgt ${\displaystyle {}K_{m}\subseteq K_{n}}$ nach Fakt. Es ist ${\displaystyle {}m=2^{r}p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}}$ und ${\displaystyle {}n=2^{s}p_{1}^{s_{1}}\cdots p_{k}^{s_{k}}}$ mit ${\displaystyle {}r\geq s\geq 1}$ und ${\displaystyle {}r_{j}\geq s_{j}\geq 1}$. Da ein Exponent echt größer ist, ergibt sich ein Widerspruch zu Fakt.