Es sei ${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {q}}}$ ein minimales Primoberideal. Wir können an ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}}$ lokalisieren. Dann ist zu zeigen, dass ein lokaler noetherscher Ring, in dem das maximale Ideal minimal über einem Element ${\displaystyle {}f}$ ist, die Dimension ${\displaystyle {}0}$ oder ${\displaystyle {}1}$ besitzt. Da eine Primidealkette mit einem Primideal beginnt, können wir weiterhin annehmen, dass ein noetherscher lokaler Integritätsbereich vorliegt. Sei jetzt angenommen, dass eine Primidealkette

${\displaystyle {}0\subseteq {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {m}}\,}$

vorliegt und dass ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$ minimal über ${\displaystyle {}f\neq 0}$ ist. Es ist ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}=0}$ zu zeigen. Der Restklassenring ${\displaystyle {}R/(f)}$ ist noethersch und besitzt die Dimension ${\displaystyle {}0}$, da ja darin ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$ das einzige Primideal ist. Somit ist nach Aufgabe der Ring ${\displaystyle {}R/(f)}$ auch artinsch, d.h. jede absteigende Idealkette in ${\displaystyle {}R/(f)}$ wird stationär. Dies bedeutet wiederum, dass jede absteigende Idealkette in ${\displaystyle {}R}$ oberhalb von ${\displaystyle {}Rf}$ stationär wird. Wir betrachten die absteigende Idealkette

${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}^{(1)}+Rf\supseteq {\mathfrak {p}}^{(2)}+Rf\supseteq {\mathfrak {p}}^{(3)}+Rf\subseteq \ldots \,}$

in ${\displaystyle {}R}$, wobei wir symbolische Potenzen verwenden, und die entsprechende absteigende Kette in ${\displaystyle {}R/(f)}$. Da dieser Ring artinsch ist, wird diese Kette konstant, d.h. es gibt ein ${\displaystyle {}n}$ mit

${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}^{(n)}+Rf={\mathfrak {p}}^{(n+1)}+Rf\,.}$

Wir behaupten, dass sogar

${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}^{(n)}={\mathfrak {p}}^{(n+1)}+{\mathfrak {p}}^{(n)}f\,}$

gilt, wobei die Inklusion ${\displaystyle {}\supseteq }$ klar ist. Sei also ${\displaystyle {}g\in {\mathfrak {p}}^{(n)}}$. Wegen der ersten Gleichung ist

${\displaystyle {}g=h+rf\,}$

mit ${\displaystyle {}h\in {\mathfrak {p}}^{(n+1)}}$. Wegen ${\displaystyle {}f\notin {\mathfrak {p}}}$ ist

${\displaystyle {}r={\frac {g-h}{f}}\in {\mathfrak {p}}^{n}R_{\mathfrak {p}}\cap R={\mathfrak {p}}^{(n)}\,.}$

Die zuletzt bewiesene Gleichheit ergibt modulo ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}^{(n+1)}}$ die Beziehung

${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}^{(n)}/{\mathfrak {p}}^{(n+1)}={\left({\mathfrak {p}}^{(n)}/{\mathfrak {p}}^{(n+1)}\right)}\cdot (f)\,.}$

Dies bedeutet wiederum

${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}^{(n)}={\mathfrak {p}}^{(n+1)}\,}$

nach dem Lemma von Nakayama. Dies bedeutet in ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle {}{\left({\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\right)}^{n}={\left({\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\right)}^{n+1}\,.}$

Dies ergibt aber, wieder nach einer Version des Lemmas von Nakyama (siehe Aufgabe), zunächst

${\displaystyle {}{\left({\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\right)}^{n}=0\,}$

und, da ${\displaystyle {}R}$ integer ist,

${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=0\,}$

und somit ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}=0}$.