Körpererweiterung/Algebraisches Element/Äquivalente Charakterisierung/Fakt

Sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ein Element. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

${}f$ ist algebraisch über ${}K$ .

Es gibt ein normiertes Polynom ${}P\in K[X]$ mit ${}P(f)=0$ .

Es besteht eine lineare Abhängigkeit zwischen den Potenzen
$f^{0}=1,f^{1}=f,f^{2},f^{3},\ldots .$

Die von ${}f$ über ${}K$ erzeugte ${}K$ -Algebra ${}K[f]$ hat endliche ${}K$ -Dimension.

${}f$ liegt in einer endlichdimensionalen ${}K$ -Algebra ${}M\subseteq L$ .

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen

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