Es sei ${\displaystyle {}u_{1},\ldots ,u_{n}}$ eine Orthonormalbasis und ${\displaystyle {}v_{i}=\varphi (u_{i})}$. Nach Voraussetzung sind diese Vektoren ${\displaystyle {}\neq 0}$ und stehen paarweise senkrecht aufeinander. Es sei

${\displaystyle {}w_{i}={\frac {v_{i}}{\Vert {v_{i}}\Vert }}\,}$

die zugehörige Orthonormalbasis. Wir betrachten die durch

${\displaystyle u_{i}\mapsto w_{i}}$

gegebene lineare Abbildung ${\displaystyle {}\psi }$. Diese ist nach Fakt (oder nach Aufgabe) eine Isometrie und hat Determinante ${\displaystyle {}1}$ oder ${\displaystyle {}-1}$. Wir schreiben

${\displaystyle {}\varphi =\theta \circ \psi \,,}$

wobei ${\displaystyle {}\theta }$ die Form ${\displaystyle {}w_{i}\mapsto s_{i}w_{i}}$ besitzt. Aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes ist die Determinante von ${\displaystyle {}\theta }$ ebenfalls ${\displaystyle {}1}$ oder ${\displaystyle {}-1}$. Die Orthogonalitätsbedingung gilt mit ${\displaystyle {}\varphi }$ und ${\displaystyle {}\psi }$ auch für ${\displaystyle {}\theta =\varphi \circ \psi ^{-1}}$. Es genügt somit zu zeigen, dass ${\displaystyle {}\theta }$ eine Isometrie ist, wozu es genügt, zu zeigen, dass alle ${\displaystyle {}s_{i}}$ betragsmäßig gleich ${\displaystyle {}1}$ sind. Nehmen wir an, dass es ein ${\displaystyle {}i}$ mit

${\displaystyle {}\vert {s_{i}}\vert >1\,}$

gibt. Wegen der Eigenschaft der Determinante ist

${\displaystyle {}\prod _{i=1}^{n}\vert {s_{i}}\vert =1\,}$

und daher gibt es auch ein ${\displaystyle {}j}$ mit

${\displaystyle {}\vert {s_{j}}\vert <1\,.}$

Die Vektoren ${\displaystyle {}w_{i}+w_{j}}$ und ${\displaystyle {}w_{i}-w_{j}}$ sind wegen

${\displaystyle {}\left\langle w_{i}+w_{j},w_{i}-w_{j}\right\rangle =\left\langle w_{i},w_{i}\right\rangle -\left\langle w_{j},w_{j}\right\rangle =1-1=0\,}$

orthogonal zueinander. Ihre Bilder ${\displaystyle {}s_{i}w_{i}+s_{j}w_{j}}$ und ${\displaystyle {}s_{i}w_{i}-s_{j}w_{j}}$ sind aber wegen

${\displaystyle {}\left\langle s_{i}w_{i}+s_{j}w_{j},s_{i}w_{i}-s_{j}w_{j}\right\rangle =s_{i}^{2}\left\langle w_{i},w_{i}\right\rangle -s_{j}^{2}\left\langle w_{j},w_{j}\right\rangle =s_{i}^{2}-s_{j}^{2}>0\,}$