Isometrie/Verschiedene Charakterisierungen mit Orthonormalbasis/Fakt

Seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume und sei

\varphi \colon V\longrightarrow W

eine lineare Abbildung. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

${}\varphi$ ist eine Isometrie.

Für jede Orthonormalbasis ${}u_{i},i=1,\ldots ,n$ , von ${}V$ ist ${}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$ , Teil einer Orthonormalbasis von ${}W$ .

Es gibt eine Orthonormalbasis ${}u_{i},i=1,\ldots ,n$ , von ${}V$ derart, dass ${}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$ , Teil einer Orthonormalbasis von ${}W$ ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen

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