Sei ${\displaystyle {}V}$ ein euklidischer Vektorraum und sei

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V}$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}\varphi }$ ist eine Isometrie.
2. Für jeden Vektor ${\displaystyle {}v}$ mit ${\displaystyle {}\Vert {v}\Vert =1}$ ist auch ${\displaystyle {}\Vert {\varphi (v)}\Vert =1}$.
3. Für jede Orthonormalbasis ${\displaystyle {}u_{i},i=1,\ldots ,n}$, ist auch ${\displaystyle {}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n}$, eine Orthonormalbasis.
4. Es gibt eine Orthonormalbasis ${\displaystyle {}u_{i},i=1,\ldots ,n}$, derart, dass auch ${\displaystyle {}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n}$, eine Orthonormalbasis ist.