Der lineare Automorphismus ${\displaystyle {}\sigma }$ ist nach Fakt diagonalisierbar, da er endliche Ordnung hat. In einer geeigneten Basis besitzt die duale Abbildung ${\displaystyle {}{\sigma }^{*}}$ die Gestalt

${\displaystyle X_{i}\longmapsto \xi _{i}X_{i}.}$

Auf der ${\displaystyle {}d}$-ten Stufe induziert dies den linearen Automorphismus

${\displaystyle \sigma ^{(d)}\colon K[V]_{d}\longrightarrow K[V]_{d}}$

mit ${\displaystyle {}X^{\nu }\longmapsto \xi ^{\nu }X^{\nu }}$. Die Eigenvektoren von ${\displaystyle {}\sigma ^{(d)}}$ sind die ${\displaystyle {}{\binom {n+d-1}{d}}}$ verschiedenen Monome

${\displaystyle X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}}$

(es sei ${\displaystyle {}n=\dim _{K}{\left(V\right)}}$) mit ${\displaystyle {}\nu _{1}+\cdots +\nu _{n}=d}$ mit den Eigenwerten ${\displaystyle {}\xi _{1}^{\nu _{1}}\cdots \xi _{n}^{\nu _{n}}}$. Die Spur von ${\displaystyle {}\sigma ^{(d)}}$ ist daher

${\displaystyle {}\operatorname {Spur} {\left(\sigma ^{(d)}\right)}=\sum _{\vert {\nu }\vert =d}\xi ^{\nu }\,.}$

Nach Fakt ergibt sich

${\displaystyle {}\dim _{K}{\left(\right)}={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\sigma \in G}\operatorname {Spur} {\left(\sigma ^{(d)}\right)}\,}$

mit

${\displaystyle {}\operatorname {Spur} {\left(\sigma ^{(d)}\right)}=\sum _{\nu _{1}+\cdots +\nu _{n}=d}\xi _{1}^{\nu _{1}}\cdots \xi _{n}^{\nu _{n}}\,.}$

Damit ist unter Verwendung der geometrischen Reihe

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\Phi _{G}(z)&=\sum _{d=0}^{\infty }{\left({\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\sigma \in G}\operatorname {Spur} {\left(\sigma ^{(d)}\right)}\right)}z^{d}\\&={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{d=0}^{\infty }{\left(\sum _{\sigma \in G}\sum _{\nu _{1}+\cdots +\nu _{n}=d}\xi _{\sigma ,1}^{\nu _{1}}\cdots \xi _{\sigma ,n}^{\nu _{n}}\right)}z^{d}\\&={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\sigma \in G}\sum _{(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})\in \mathbb {N} ^{n}}\xi _{\sigma ,1}^{\nu _{1}}\cdots \xi _{\sigma ,n}^{\nu _{n}}z^{\nu _{1}+\cdots +\nu _{n}}\\&={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\sigma \in G}{\left(\sum _{\nu _{1}=0}^{\infty }\xi _{\sigma ,1}^{\nu _{1}}z^{\nu _{1}}\right)}\cdots {\left(\sum _{\nu _{n}=0}^{\infty }\xi _{\sigma ,n}^{\nu _{n}}z^{\nu _{n}}\right)}\\&={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\sigma \in G}{\frac {1}{{\left(1-z\xi _{\sigma ,1}\right)}\cdots {\left(1-\xi _{\sigma ,n}\right)}}}\\&={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\sigma \in G}{\frac {1}{\det {\left(\operatorname {Id} -z\sigma \right)}}}.\end{aligned}}}$