Es sei ${\displaystyle {}m}$ der Grad von ${\displaystyle {}f}$ und ${\displaystyle {}k}$ der Untergrad von ${\displaystyle {}f}$. Es sei ${\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$ eine Zariski-offene Menge mit der Eigenschaft, dass die Einsetzungen ${\displaystyle {}f\circ \alpha }$ zu den Geraden durch den Nullpunkt ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}t}$ zum Parametertupel

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\in U\,}$

den Grad ${\displaystyle {}m}$ und den Untergrad ${\displaystyle {}k}$ besitzen. Eine solche Menge gibt es aufgrund von Fakt und Fakt. Das normierte eingesetzte Polynom hat die Gestalt

${\displaystyle \sum _{j=0}^{m}{\frac {g_{j}(a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{n})}{g_{m}(a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{n})}}t^{j}}$

wobei ${\displaystyle {}g_{m}}$ auf ${\displaystyle {}U}$ nullstellenfrei und unabhängig von den ${\displaystyle {}b_{i}}$ ist. Für einen fixierten Parameter ${\displaystyle {}(a_{1},\ldots ,a_{n},0,\ldots ,0)}$ mit ${\displaystyle {}(a_{1},\ldots ,a_{n})\in U}$ besitzt dieses Polynom in ${\displaystyle {}0}$ eine Nullstelle der Vielfachheit ${\displaystyle {}k}$. Nach dem Satz über die Stetigkeit der Nullstellen gibt es zu jedem ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ ein ${\displaystyle {}\delta >0}$ mit der Eigenschaft, dass jedes normierte Polynom vom gleichen Grad, das (durch ${\displaystyle {}U}$ parametrisiert ist und) die Koeffizientenbedingungen

${\displaystyle {}\vert {{\frac {g_{j}(a_{1},\ldots ,a_{n},0,\ldots ,0)}{g_{m}(a_{1},\ldots ,a_{n},0,\ldots ,0)}}-{\frac {g_{j}(a_{1}',\ldots ,a_{n}',b_{1},\ldots ,b_{n})}{g_{m}(a'_{1},\ldots ,a'_{n},b_{1},\ldots ,b_{n})}}}\vert \leq \delta \,}$

für alle ${\displaystyle {}j=0,\ldots ,m-1}$ erfüllt, in ${\displaystyle {}U{\left(0,\epsilon \right)}}$ mindestens ${\displaystyle {}k}$ Nullstellen mit Gesamtvielfachheit ${\displaystyle {}k}$ besitzt. Da diese rationalen Koeffizientenfunktionen ${\displaystyle {}g_{j}/g_{m}}$ stetig sind, gibt es zu jedem ${\displaystyle {}(a_{1},\ldots ,a_{n})\in U}$ ein ${\displaystyle {}s>0}$ derart, dass für

${\displaystyle {}d{\left((a_{1},\ldots ,a_{n},0,\ldots ,0),(a_{1}',\ldots ,a_{n}',b_{1},\ldots ,b_{n})\right)}\leq s\,}$

die zugehörigen Koeffizientenfunktionen diese Abstandsbedingung und die zugehörigen Geraden ${\displaystyle {}a't+b}$ daher die Schnittbedingung erfüllen, dass sie in der ${\displaystyle {}\epsilon }$-Umgebung des Nullpunktes insgesamt zumindest ${\displaystyle {}k}$ Schnittpunkte haben.