Da die Grenzfunktion nach Fakt stetig ist, existiert das bestimmte Integral rechts nach Fakt. Für jedes ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ gibt es ein ${\displaystyle {}n_{0}}$ mit

${\displaystyle {}\vert {f_{n}(t)-f(t)}\vert \leq {\frac {\epsilon }{b-a}}\,}$

für alle ${\displaystyle {}n\geq n_{0}}$ und alle ${\displaystyle {}t\in [a,b]}$. Daher gilt für diese ${\displaystyle {}n}$ die Abschätzung

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\vert {\int _{a}^{b}f_{n}(t)\,dt-\int _{a}^{b}f(t)\,dt}\vert &\leq \vert {\int _{a}^{b}f_{n}(t)-f(t)\,dt}\vert \\&\leq \int _{a}^{b}\vert {f_{n}(t)-f(t)}\vert \,dt\\&\leq \int _{a}^{b}{\frac {\epsilon }{b-a}}\,dt\\&=\epsilon .\end{aligned}}}$