Aufgrund von Fakt gibt es im zweiten Fall eine Darstellung

${\displaystyle {}p=x^{2}+y^{2}=(x+{\mathrm {i} }y)(x-{\mathrm {i} }y)\,}$

Wegen

${\displaystyle {}p^{2}=N(p)=N(x+y{\mathrm {i} })N(x-y{\mathrm {i} })\,}$

haben die beiden Faktoren die Norm ${\displaystyle {}p}$ und sind deshalb nach Fakt prim. Die Eindeutigkeit ergibt sich aus der eindeutigen Primfaktorzerlegung im Ring der Gaußschen Zahlen und der Kenntnis der Einheiten.