Die Primzahlen aus ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ haben in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$ folgendes Zerlegungsverhalten:

• Es ist

${\displaystyle {}2=-{\mathrm {i} }(1+{\mathrm {i} })^{2}\,,}$

und ${\displaystyle {}1+{\mathrm {i} }}$ ist prim in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$.

• Für ${\displaystyle {}p=1\mod 4}$ ist

${\displaystyle {}p=(x+y{\mathrm {i} })(x-y{\mathrm {i} })\,,}$

mit gewissen eindeutig bestimmten ${\displaystyle {}x,y\in \mathbb {N} _{+}}$, wobei beide Faktoren prim sind.

• Für ${\displaystyle {}p=3\mod 4}$ ist ${\displaystyle {}p}$ prim in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$.