Sei also ${\displaystyle {}b>1}$ und ${\displaystyle {}m>n}$. Wir müssen zeigen, dass

${\displaystyle {}\varphi _{b}(m)=b^{m}>b^{n}=\varphi _{b}(n)\,}$

ist. Nach Fakt  (4) ist

${\displaystyle {}b^{m}=b^{m-n}\cdot b^{n}\,}$

mit ${\displaystyle {}m-n>0}$. Wegen Fakt  (8) ist

${\displaystyle {}b^{m-n}>1\,}$

und daher ist auch

${\displaystyle {}b^{m}=b^{m-n}\cdot b^{n}>1\cdot b^{n}=b^{n}\,.}$