${\displaystyle {}b>1}$

${\displaystyle {}m>n}$

${\displaystyle {}\varphi _{b}(m)=b^{m}>b^{n}=\varphi _{b}(n)\,}$

ist. Nach Fakt  (4) ist

${\displaystyle {}b^{m}=b^{m-n}\cdot b^{n}\,}$

mit ${\displaystyle {}m-n>0}$. Wegen Fakt  (8) ist

${\displaystyle {}b^{m-n}>1\,}$

und daher ist auch

${\displaystyle {}b^{m}=b^{m-n}\cdot b^{n}>1\cdot b^{n}=b^{n}\,.}$

${\displaystyle {}b^{n}={\left(b^{-1}\right)}^{-n}\,}$

und Fakt  (3) verwendet.