Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${\displaystyle {}G}$ und es seien ${\displaystyle {}H_{1},H_{2}\subseteq G}$ Untergruppen mit den zugehörigen Fixkörpern ${\displaystyle {}K_{1}=\operatorname {Fix} \,(H_{1})}$ und ${\displaystyle {}K_{2}=\operatorname {Fix} \,(H_{2})}$. Zeige, dass der Durchschnitt ${\displaystyle {}K_{1}\cap K_{2}}$ gleich dem Fixkörper zu ${\displaystyle {}H}$ ist, wobei ${\displaystyle {}H}$ die von ${\displaystyle {}H_{1}}$ und ${\displaystyle {}H_{2}}$ erzeugte Untergruppe bezeichnet

${\displaystyle {}G}$

${\displaystyle {}H_{1}}$

${\displaystyle {}H_{2}}$