Untersuche die Funktionenfolge

${\displaystyle f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto (\sin x)^{n},}$

auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz. An welchen Punkten existiert die Grenzfunktion, an welchen ist sie stetig, an welchen differenzierbar?

${\displaystyle {}g_{n}(x)=f_{n}'(x)}$