Sei ${\displaystyle {}x\in T}$ und ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ vorgegeben. Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz gibt es ein ${\displaystyle {}n_{0}}$ mit ${\displaystyle {}d{\left(f_{n}(y),f(y)\right)}\leq \epsilon /3}$ für alle ${\displaystyle {}n\geq n_{0}}$ und alle ${\displaystyle {}y\in T}$. Wegen der Stetigkeit von ${\displaystyle {}f_{n_{0}}}$ in ${\displaystyle {}x}$ gibt es ein ${\displaystyle {}\delta >0}$ mit ${\displaystyle {}d{\left(f_{n_{0}}(x),f_{n_{0}}(y)\right)}\leq \epsilon /3}$ für alle ${\displaystyle {}y\in T}$ mit ${\displaystyle {}d{\left(x,y\right)}\leq \delta }$. Für diese ${\displaystyle {}y}$ gilt somit

${\displaystyle {}{\begin{aligned}d{\left(f(x),f(y)\right)}&\leq d{\left(f(x),f_{n_{0}}(x)\right)}+d{\left(f_{n_{0}}(x),f_{n_{0}}(y)\right)}+d{\left(f_{n_{0}}(y),f(y)\right)}\\&\leq \epsilon /3+\epsilon /3+\epsilon /3\\&=\epsilon .\end{aligned}}}$